mandelbrot_fractals

Benoît Mandelbrot

Una introducción general a los novísimos conceptos de la teoría del caos. Poincaré, Julia y Fatou; Lorenz y Mandelbrot. Los fractales: la herramienta matemática del caos y la complejidad.

En el año de 1972 se publicaba Stabilité structurelle et morphogénèse, la obra cimera del matemático francés René Thom (1923-2002). Anunciada como una revolución, trataba de ciertas transformaciones repentinas en formas básicas, especialmente las formas biológicas. Comoquiera que estas transformaciones implicaban una ruptura entre formas sucesivas, se las llamó “catástrofes”,[1] y de hecho se dio en decir que Thom había inventado una “teoría de catástrofes”. No pasaría mucho tiempo, sin embargo, hasta que las esperanzas puestas en esta teoría—que resolvería el misterio de las formas y sus cambios, de sus metamorfosis—se mudaran al campo de otra teoría nueva, que por casualidad también tenía un nombre ominoso: la teoría del caos.

Pero antes de que la noción de caos dominara la imaginación de los científicos, el esfuerzo de Thom fue saludado como el portador de un nuevo paradigma. El mismo Thom exponía el asunto en la introducción de su libro: “El uso del término ‘cualitativo’ en ciencia y, sobre todo, en física tiene resonancia peyorativa. Fue un físico quien me recordara, no sin vehemencia, la sentencia de Rutherford: ‘Lo cualitativo no es otra cosa que pobre cuantificación’… La historia ofrece otra razón a la actitud del físico hacia lo cualitativo. La controversia entre los seguidores de la física de Descartes y los de la de Newton llegó a su cúspide a fines del siglo XVII. Descartes, con sus vórtices, sus átomos ganchudos y nociones similares, explicaba todo pero no calculaba nada; Newton, con su ley de proporcionalidad inversa, calculaba todo pero no explicaba nada. La historia ha avalado a Newton y relegado las construcciones cartesianas al dominio de la especulación curiosa. Ciertamente, el punto de vista newtoniano se ha justificado plenamente a sí mismo desde el punto de vista de su eficiencia y su capacidad de predecir, y por tanto de actuar sobre los fenómenos. En el mismo espíritu, es interesante releer la introducción a los ‘Principios de Mecánica Cuántica’ de Dirac, en la que el autor desestima como sin importancia la imposibilidad de ofrecer un contexto intuitivo para los conceptos básicos de los métodos cuánticos. Pero estoy seguro de que la mente humana no estaría plenamente satisfecha con un universo en el que todos los fenómenos estuvieran gobernados por un proceso matemático que fuera coherente pero totalmente abstracto. ¿No estaríamos entonces en el País de las Maravillas? En una situación en la que el hombre se vea privado de toda posibilidad de intelectualización, esto es, de interpretar geométricamente un proceso dado, o bien buscará crear, a pesar de todo, a través de interpretaciones adecuadas, una justificación intuitiva del proceso, o bien se hundirá en resignada incomprensión que el hábito trocará en indiferencia… El dilema que toda explicación científica confronta es éste: magia o geometría. Desde este punto de vista, los hombres que luchan por comprender nunca tendrán hacia las teorías cualitativas y descriptivas de los filósofos, desde los Presocráticos hasta Descartes, el punto de vista intolerante de una ciencia cuantitativa dogmática”.

Así que el libro de Thom era también un manifiesto. Era una rebelión ante una ciencia analítica, casada con una matemática de cálculo, que despreciaba todo lo que cálculo no fuera. Pero a pesar de que Thom rozó nociones que luego serían de gran importancia para el tratamiento matemático de sistemas que exhiben comportamiento caótico—la de “atractrices”, por ejemplo—su “teoría de modelos”[2] no era la matemática que se necesitaba. Sólo hubiera tenido que buscar en su propio país, pues los franceses Henri Poincaré (1854-1912), Gaston Julia (1893-1978) y Pierre Fatou (1878-1929) fueron los verdaderos precursores de lo que hoy llamamos teoría del caos y de la noción matemática de fractales.

Thom

Un típico diagrama de René Thom, que compara la morfogénesis de dos especies de levadura. Es de notar en el eje de ordenadas la mención de un “parámetro interno cualitativo”: la forma.

La preocupación de Thom es la forma, y la conversión de una forma en otra a través de bruscas transiciones a las que denominó catástrofes. Es esto lo que modela su topología. Reconoce, ciertamente, algunos precursores, entre los que destaca D’Arcy Thompson (1860-1948), el autor de On Growth and Form (1917), una obra descriptiva que ponía de manifiesto la comunidad de formas entre entidades de distintísimo substrato.[3] En cambio, no hace mención de Laws of Form (1969) del inglés G. Spencer Brown (1923-), obra que trata el problema como parte de la lógica.[4] Su autor describía así su contenido: “El tema de este libro es que un universo salta a la existencia cuando un espacio es amputado o descompuesto”.

………

Dos figuras relativamente recientes son, en cualquier caso, los reales “descubridores” o pioneros del campo dual de caos y fractales: Edward Lorenz, del lado fenomenológico, y Benoît Mandelbrot del lado simbólico o matemático.

Por lo que respecta a Lorenz (1917-), matemático norteamericano dedicado a la meteorología, su tropiezo “serendípico” con el caos es ya bastante conocido. En 1959 manipulaba el clima artificial y meramente simbólico de sus modelos matemáticos en su primitivo computador Royal MacBee. Había formulado ecuaciones que relacionaban variables como temperatura y presión atmosférica y confiado al computador el tedioso cálculo de las interacciones, el que imprimía tablas de resultados y hasta un escueto gráfico que mostraba las oscilaciones del clima a lo largo del tiempo. El computador de Lorenz no tenía mucha capacidad: sólo podía calcular hasta seis posiciones decimales. Pero el impresor era aun más lento, y por tal razón se le pedía que imprimiese los sucesivos valores sólo hasta los tres primeros decimales.

Un buen día Lorenz notó un segmento de gráfico que llamó su atención, por lo que se dispuso a correr el modelo de nuevo en el computador, a fin de examinar con mayor atención el episodio de su interés. Pero en lugar de arrancar los cálculos desde el inicio, dada la lentitud del cómputo, decidió tomar como condiciones iniciales valores previos de las variables cercanas a la zona interesante de las curvas. Así, tomó las hojas impresas, seleccionó un punto en el tiempo, previo pero no muy lejano, leyó los valores correspondientes, los ingresó manualmente a la máquina y arrancó el cómputo. Luego, para evitar el tedio, se fue a tomar café.

Cuando Lorenz regresó a su laboratorio se llevó una sorpresa mayúscula. El impresor trazaba ahora trayectorias enteramente distintas para las variables, y el gráfico no se parecía en nada a lo que originalmente había despertado su curiosidad. Al principio creyó que la causa sería un desperfecto repentino en el computador, o tal vez un error en su sistema de ecuaciones. Poco después encontró la verdad: en realidad no había especificado exactamente las mismas condiciones iniciales, pues leyó valores impresos con tres decimales redondeados, cuando entretelones el computador calculaba seis posiciones decimales. El error de una diezmilésima en la condición especificada para el nuevo cómputo había generado, con el paso del tiempo, discrepancias de gran magnitud. Había nacido la ciencia del caos.

Rápidamente Lorenz sacó la consecuencia: los sistemas complejos revelan una gran sensibilidad a las condiciones iniciales, y una pequeñísima diferencia en éstas puede acarrear a la larga diferencias descomunales.[5]

La metáfora con la que este carácter de los sistemas complejos se popularizó adoptó ropaje, naturalmente, climatológico. Se la bautizó como el principio del ala de mariposa: en un sistema tan complejo como el clima, el aleteo de una mariposa en China puede causar un temporal en California.[6]

¿Por qué era esto el preludio de una revolución? Una de las consecuencias de la sensibilidad a las condiciones iniciales que exhibe la dinámica de los sistemas complejos—compuestos por gran número de elementos—es que son fundamentalmente impredecibles. Pero esta impredecibilidad no se deriva, en este caso, de una esencia azarosa, como sí es el caso de los sistemas probabilísticos de la física cuántica. Acá un sistema regido por leyes estrictamente deterministas y que pudiera, habitualmente, “portarse bien”, puede atravesar fases caóticas que son absolutamente impredecibles, porque no se puede conocer con precisión arbitraria su condición inicial.

Era con esto, justamente, con lo que se había topado Poincaré. Al formular su teoría de la gravitación universal, Isaac Newton, reconociendo naturalmente que sobre la trayectoria de la Tierra no solamente influye la masa del Sol, sino las de los restantes planetas del sistema solar—y en estricto sentido la de cualquier otro objeto en el espacio—optó por calcular las atracciones mutuas para una abstracción de sólo dos cuerpos interactuantes, puesto que la introducción de uno solo adicional excedía la capacidad de cálculo de las matemáticas de su época. (The two-body problem). Poincaré trabajó, para un premio que Oscar II de Suecia estableciera, sobre el n-body problem, en su caso referido a la interacción de sólo tres cuerpos. Aun en un sistema en apariencia tan sencillo como el de tres astros, Poincaré encontró incertidumbres irresolubles. Es decir, se encontró con el caos determinista. Un sistema con reglas o leyes físicas perfectamente determinadas puede conducir a la impredecibilidad, a una situación en la que la dinámica ni es lineal, ni es periódica, ni es probabilística, y sin embargo es impredecible.

Pero el trabajo de Lorenz condujo a un hallazgo tal vez más sorprendente todavía. Al analizar el curso de sus ecuaciones para los distintos valores con los que las alimentara, encontró que no cualquier resultado era posible, sino sólo unos específicos que, trazados en un sistema de coordenadas, describían una curva con un alto grado de orden, con un dibujo muy preciso. Debajo del trazado caótico subyacía un orden estricto.

La atractriz de Lorenz es una curva de dos lóbulos que describe una trayectoria que nunca se repite, y que representa los sucesivos estados del clima modelado en sus ecuaciones.

Antes de Lorenz ya se tenía la noción de atractriz: un punto, una curva o una región del espacio hacia el que tiende un sistema determinado. (Una hoya de atracción—en sentido hidrográfico, como la hoya de los afluentes de un río principal—es una forma de atractriz). Un modelo sencillo de un sistema de atractrices lo constituye un péndulo que oscila a poca distancia de una base hexagonal, en cuyos vértices se han colocado imanes de aproximadamente igual intensidad magnética. Tomando el péndulo entre los dedos se le dota de un impulso inicial que, al soltarlo, lo hace describir una trayectoria que bajo la acción de los imanes es típicamente errática. Al agotarse el impulso inicial el péndulo se detiene sobre uno de los vértices (una de las atractrices). Incluso en un sistema tan sencillo como éste, no es posible predecir cuál será la atractriz que predominará al final, aun cuando la trayectoria del péndulo, transportada a un sistema de coordenadas, describe una curva particular y definida. Para el tipo de atractriz con el que Lorenz se encontró, el meteorólogo matemático acuñó el concepto de atractriz extraña.[7]

Después de estas cosas climáticas sobrevendría una nueva sorpresa: muchos otros sistemas, de naturaleza o substrato enteramente diferente al del clima terrestre, exhibían igualmente comportamiento caótico, determinado pero impredecible. Por ejemplo, la evolución de poblaciones dentro de un sistema ecológico, o el flujo turbulento, o el ritmo cardiaco—que de su periodicidad regular, registrada en los electrocardiogramas que nos son ya familiares, puede degenerar en la señal caótica de la fibrilación—o el movimiento de precios de una bolsa de valores, o el pink noise que los ingenieros de sonido emplean para calibrar equipos, o ciertas reacciones químicas “disipativas” (de energía), o la distribución espacio-temporal de los sismos, o la de las revoluciones sociales[8] y las guerras, son todos sistemas que exhiben fases caóticas, impredecibles. Por si esto no fuera suficiente, poco después se encontró que el comportamiento de estos sistemas, todos de naturaleza distinta, sigue un mismo patrón matemático.

Por ejemplo, prontamente se notó que, si bien las variaciones en estos sistemas parecen totalmente erráticas, había secuencias de variación que se repetían, que eran muy parecidas a otras anteriores o posteriores al paso del tiempo. Había en estos fenómenos una autosimilaridad: se parecen a sí mismos en momentos distintos del tiempo.

Lorenz, por supuesto, era matemático, y fue capaz de reconocer que su atractriz no era común, de allí el apelativo de extraña, que le endilgó. Pero tendría que venir otro matemático para hacer la formulación definitiva sobre la matemática que era capaz de describir adecuadamente fenómenos tan disímiles y tan parecidos a la vez.

Benoît Mandelbrot (1924-), matemático de origen polaco y nacionalidad francesa—aunque vive desde hace mucho en los Estados Unidos—publicó en 1982 la summa de una nueva y revolucionaria geometría: la geometría fractal.

Mandelbrot había venido estudiando dos conjuntos aparentemente disímiles de fenómenos. Por una parte, el comportamiento histórico de los precios del algodón, en los que esperaba desentrañar algún concierto; es decir, un proceso temporal. Por la otra, la irregularidad de las costas; esto es, un problema espacial o geométrico. Acometió ambos problemas mientras era investigador del Thomas J. Watson Research Center de la compañía IBM.[9]

En el primer caso encontró la propiedad de autosimilaridad ya mencionada. Específicamente, encontró que los precios del algodón no seguían una distribución gaussiana o “normal”, sino una “distribución estable de Levy”. (Una distribución “estable” se caracteriza porque la suma de muchas instancias de una variable aleatoria exhibe exactamente la misma distribución pero a otra escala, o sea, exhibe “invariancia a la escala”; en otros términos, exhibe autosimilaridad espacial, se parece a sí misma a distintas escalas).[10]

Pero es que exactamente lo mismo halló al acometer el estudio de la irregularidad de una costa—How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension, 1967—tomando base en trabajos de Lewis Fry Richardson, quien ya había señalado que la longitud de una costa dependía del tamaño de la unidad de medida.

Longitud de costa

Una menor unidad de medida computa una longitud mayor

Al discutir lo postulado por Fry Richardson, Mandelbrot asoció la observación con un concepto de “dimensión fraccionaria”, o dimensión de Haussdorf. Ciertas figuras son caracterizadas por tener una “dimensión” intermedia entre las que conocemos habitualmente, y que son estipuladas con números naturales: un punto tiene dimensión 0, una línea dimensión 1, un plano dimensión 2, un cubo dimensión 3, etcétera. Ciertas estructuras, calculada su dimensión con ciertos métodos, tienen una dimensión que es, digamos, más de uno pero menos de dos. Por caso, la dimensión “fractal” de las costas de África del Sur es de 1,02, mientras que la de la costa occidental de Inglaterra es medida en 1,25. Del mismo modo, el árbol arterial humano tiene una dimensión fractal de aproximadamente 2,7, a pesar de ocupar él mismo un espacio tridimensional.[11]

Es justamente esta dimensión fractal, o fractalidad, lo que define la irregularidad característica de ciertas formas. La de las costas es una, la de las cadenas montañosas otra, la de las hoyas hidrográficas otra distinta. Y es esta dimensión fractal, por último, la que determina la autosimilaridad. Vista a distintas escalas, la línea de una costa se parece a sí misma.

Seis años después del artículo sobre la dimensión de la costa de Inglaterra, proponía Mandelbrot el término fractal—derivado del latín fractus (fracturado) que nos da fracción—en Les objets fractals, forme, hasard et dimension. Y en 1982 la obra más general y completa The Fractal Geometry of Nature.

Fue su estudio de estructuras matemáticas entrevistas a comienzos del siglo XX por Gaston Julia y Pierre Fatou, lo que llevó a Mandelbrot a describir la estructura matemática que le dio más fama: el conjunto o curva de Mandelbrot. Los precursores franceses habían descubierto las bases fundamentales de esa estructura, pero carecían de una herramienta lo suficientemente poderosa como para visualizarla: el computador. Esta curva, como muchas otras estructuras fractales, es producida por recursión, esto es, por iteración o repetición de un mismo cálculo, el que se realimenta con cada nuevo resultado. La fórmula esencial ya había sido propuesta por Fatou:

X = X2 + c

Un número X es elevado al cuadrado y se le suma un cierto parámetro fijo c. Este resultado es a su vez elevado al cuadrado y sumado a c, y así sucesivamente. Cada resultado es marcado en un sistema de coordenadas y esto define una curva muy extraña en el plano. (Una curva de Mandelbrot, a escala general, se muestra más abajo).

La gran síntesis no tardaría en darse: las matemáticas fractales, que definen una autosimilaridad espacial, son las adecuadas para modelar e interpretar la autosimilaridad temporal de los sistemas caóticos. La geometría fractal es el lenguaje del caos. LEA

Conjunto de Mandelbrot

La curva que define el conjunto de Mandelbrot, el icono del caos. El “borde” que limita el espacio en color negro, amplificado incesantemente, revela una complejidad inagotable, al tiempo que exhibe la propiedad general de los fractales y los sistemas complejos: su autosimilaridad.

 

 

 


[1] El término “catástrofe” tiene un sentido técnico-matemático en el campo de la rama matemática conocida como Topología. En términos muy gruesos y analógicos, la topología es la rama de la geometría que se ocupa de las propiedades morfológicas que permanecen invariables bajo deformaciones continuas. Si se imagina a un cuerpo como una taza construida con una buena plastilina, es posible deformarlo sin rasgarlo para convertirlo en un aro, y la taza y el aro son entonces topológicamente equivalentes: ambos tienen un agujero por el que se pasa de un lado al otro. El aro es en sí mismo un agujero; el asa de la taza es otro. En cambio no sería topológicamente equivalente la montura de unos lentes, puesto que tiene dos agujeros en lugar de uno.

[2] El subtítulo del libro de Thom es, precisamente, “Esquema de una Teoría General de Modelos”.

[3] Por ejemplo, un corte transversal de la cabeza de un fémur revela laminillas óseas (trabéculas) dispuestas en arcos ojivales de gran semejanza con un arco de arquitectura gótica; o la anatomía de una medusa corresponde a la forma que genera una gota que cae en el seno de un líquido viscoso. Thompson, sin embargo, se limitó a registrar estas analogías taxonómicamente, sin proporcionar una teoría que explicase las similitudes. Tal vez por esto él mismo escribió: “Este libro mío tiene poca necesidad de prefacio, puesto que en verdad no es más que un prefacio de principio a fin”.

[4] El libro de Thom aparece (1972) tres años después del de G. Spencer Brown, pero Jorge Luis Borges ha opinado que “Uno crea sus propios precursores”. Laws of Form se convirtió en objeto de culto en la década de los setenta, y fue incluido en un curioso libro con el título de Whole Earth Catalogue, uno de cuyos editores fue un antipático pero interesante promotor cultural de nombre John Brockman. El autor de esta lección fue miembro, junto con Brockman, de una indisciplinada asociación de intelectuales basada en Nueva York: The Reality Club, del que éste fue fundador.

[5] Esta característica de los sistemas complejos salva, justamente, la trascendencia de lo individual, de lo más pequeño, aun en medio de la mayor enormidad. El más pequeño acto individual determina la forma del futuro, y por tanto la complejidad no es excusa para prescindir de la ética personal, así como el conjunto no puede ser pretexto para dañar a la parte.

[6] Una conferencia de Lorenz en 1972 llevó por título Does the flap of a butterfly’s wings in Brazil set off a tornado in Texas? En un cuento de Ray Bradbury (A Sound of Thunder), recogido en “The Science Fiction’s Hall of Fame”, unos excursionistas que viajan con una máquina del tiempo a un “parque jurásico” se salen del área permitida y pisan inadvertidamente algo de hierba y una mariposa en el pasado remoto. Al regresar al presente comprueban que las cosas son distintas a las que dejaron, y la sociedad democrática en la que vivían acaba de elegir a un candidato que suena muy parecido a Hitler. El artículo técnico de Lorenz sobre la sensibilidad a las condiciones iniciales de un sistema dinámico se publicó en 1963, con el título Deterministic nonperiodic flow.

[7] En inglés, strange attractor.

[8] Los acontecimientos del 27 y el 28 de febrero de 1989, por ejemplo, son más fácilmente comprensibles si se les interpreta como un caso de proceso caótico, antes que como resultado de una acción subversiva intencional. El 27 de febrero de 1989 pudo observarse la propagación de la avalancha desde Guarenas, exacerbándose por la transmisión del evento a través de los medios de comunicación social, pero también a través de una cadena informal de transmisión de información: los mensajeros motorizados, que exhiben desde hace mucho una rápida solidaridad de conducta y que fueron propagando el descontento desde Guarenas a Petare, de allí a Chacaíto, a la estación del Metro en Bellas Artes, y así sucesivamente.

[9] Mandelbrot ingresó a IBM en 1958, y trabajó por 32 años en el Watson Center. Hoy en día es Fellow Emeritus de ese instituto.

[10] Una lata de Toddy, la popular bebida achocolatada, muestra la figura de un bebé que sostiene en sus manos una lata de Toddy, la que naturalmente tendrá también otro bebé más pequeño que sostiene otra lata, und so weiter.

[11] En lecciones posteriores describiremos con detalle la noción de dimensión fractal y nos familiarizaremos con un método particular de calcularla.
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