Fichero

LEA, por favor

El jueves de la semana pasada, el #304 de la Carta Semanal de doctorpolítico hizo referencia a un trabajo de 1993—The Robustness of Bubbles and Crashes in Experimental Stock Markets—en un párrafo que decía: “Ha explotado una pompa especulativa de proporciones titánicas, pero es que la formación de burbujas parece ser consustancial al funcionamiento de los mercados de capital. Incluso en ‘mercados experimentales’—juegos de simulación con participantes de alguna sofisticación—en los que se elimine la especulación y esté ausente el exceso de confianza, emergen espontáneamente las burbujas, definidas como discrepancias injustificables entre el valor de mercado y el valor intrínseco de las cosas. Se trata de sistemas complejos, que ni pueden ser regulados por control central ni parecen poder escapar a crisis caóticas cada cierto tiempo”.

En otras ocasiones se ha recordado acá un artículo de Per Bak (un científico danés fallecido en 2002) y Kan Chen (uno de sus estudiantes de postgrado) en el número de enero de 1991 de la estupenda revista Scientific American: Self-Organized Criticality. Por ejemplo, en la carta #245 (12 de julio de 2007), se lo comentaba así: “Los grupos humanos, como los ríos y las montañas, como la población de huracanes y la de terremotos, también son asiento de episodios caóticos de pequeña, mediana y gran magnitud. Y también pueden ser expuestos a tensiones que agraven la intensidad de esos episodios… Es posible un desastre, ciertamente, pero pareciera que el Creador se ha compadecido de la vida, y preformado el mundo de modo que las calamidades más grandes sean escasas. Si no fuesen las cosas de ese modo las empresas de seguros no podrían existir. Hay tragedias, sin duda, unas cuantas muy graves, pero a su terrible efecto termina superponiéndose la robustez de la autorganización de los sistemas complejos, como el de la especie humana. Por tanto, la apuesta más razonable es a un futuro de mayor racionalidad o sabiduría política”.

En el sumario del artículo de Bak y Chen, la revista pone: “Los sistemas interactivos de gran tamaño se organizan perpetuamente a sí mismos hasta un estado crítico, en el que un evento menor comienza una reacción en cadena que puede conducir a una catástrofe… Sistemas tan grandes y complicados como la corteza terrestre, el mercado de valores y el ecosistema pueden colapsar no sólo por la fuerza de un golpe poderoso, sino también a la caída de un alfiler”.

Naturalmente, estas nociones son útiles a la hora de comprender lo acaecido ayer en la Bolsa de Valores de Nueva York. Por eso, esta Ficha Semana #214 de doctorpolítico consiste de los más pedagógicos fragmentos, traducidos al español, del artículo de Bak y Chen. El tema será retomado, con más amplitud, en la Carta Semanal #305, de pasado mañana, en un intento por arribar a conclusiones serenas.

LEA

Teoría de avalanchas

Criticalidad autorganizada: muchos sistemas compuestos evolucionan hasta un estado crítico en el que un evento menor comienza una reacción en cadena que puede afectar a un número indeterminado de elementos en el sistema.

Aunque los sistemas compuestos producen más eventos menores que catástrofes, reacciones en cadena de todos los tamaños son una parte integral de su dinámica. De acuerdo con la teoría, el mecanismo que conduce a los eventos menores es el mismo que conduce a los eventos mayores. Más aún, los sistemas compuestos nunca alcanzan el equilibrio, sino que evolucionan de un estado metaestable al próximo.

La criticalidad autorganizada es una teoría holística: los aspectos globales, tales como las proporciones relativas de eventos grandes y pequeños, no dependen de los mecanismos microscópicos. En consecuencia, los rasgos globales del sistema no pueden ser entendidos mediante el análisis de sus partes por separado.

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Un sistema engañosamente simple sirve de paradigma a la criticalidad autorganizada: una pila de arena. Algunos investigadores han simulado la dinámica de las pilas de arena mediante programas de computador; otros, tales como Glenn A. Held y sus colegas en el Centro de Investigaciones Thomas J. Watson de IBM, han realizado experimentos. Tanto los modelos como los experimentos revelan los mismos aspectos.

Held y sus colaboradores diseñaron un aparato que vierte arena suave y uniformemente, un grano a la vez, sobre una superficie plana circular. Al comienzo, los granos permanecen cerca de la posición donde cayeron. Pronto descansan los unos sobre los otros, creando una pila de pendiente suave. De vez en cuando, cuando la pendiente se hace demasiado empinada en alguna zona de la pila, los granos resbalan hacia abajo, causando una pequeña avalancha. A medida que se añade más arena y se empina más la pendiente de la pila, aumenta el tamaño de la avalancha promedio. Algunos granos comienzan a caer fuera del borde de la superficie circular. La pila deja de crecer cuando la cantidad de arena añadida es compensada, en promedio, por la cantidad de arena que rebasa el borde. En ese punto, el sistema ha alcanzado el estado crítico.

Cuando se añade un grano de arena a una pila en estado crítico, puede iniciar una avalancha de cualquier tamaño, incluyendo un evento “catastrófico”. Pero la mayor parte del tiempo, el grano caerá sin que ocurra una avalancha. Hemos encontrado que aun las más grandes avalanchas involucran sólo a una pequeña proporción de granos de la pila y, por consiguiente, incluso eventos catastróficos no pueden causar que la pendiente de la pila se desvía significativamente de la pendiente crítica.

Un avalancha es un tipo de reacción en cadena, o proceso de ramificación. Al comienzo de una avalancha, un solo grano de arena resbala por la pendiente a causa de cierta inestabilidad en la superficie de la pila. El grano se detendrá sólo si cae en una posición estable; de lo contrario, continuará cayendo. Si golpea granos casi inestables, hará que ellos caigan. A medida que el proceso continúa, cada grano en movimiento puede detenerse o seguir cayendo, y puede hacer que otros granos caigan. El proceso cesará cuando todas las partículas activas se hayan detenido o se hayan movido fuera de la pila.

La pila mantiene una altura y pendiente constantes porque la probabilidad de que la actividad muera está compensada en promedio por la probabilidad de que la actividad se ramifique. Así, la reacción en cadena mantiene un estado crítico.

Si la forma de la pila es tal que la pendiente sea menor que el valor crítico—el estado subcrítico—entonces las avalanchas serán menores que las que el estado crítico produce.  Una pila subcrítica crece hasta que alcanza el estado crítico. Si la pendiente es mayor que el valor crítico—el estado supercrítico—entonces las avalanchas serán mucho más grandes que las generadas por el estado crítico. Una pila supercrítica colapsará hasta que  alcance el estado crítico. Tanto la pila subcrítica como la supercrítica son naturalmente atraídas hacia el estado crítico.

La pila de arena tiene dos rasgos aparentemente incongruentes: el sistema es inestable en muchos sitios diferentes; sin embargo, el estado crítico es absolutamente robusto. Por un lado, rasgos específicos, como las configuraciones locales de arena, cambian a cada momento a causa de las avalanchas. Por el otro, las propiedades estadísticas, tales como la distribución del tamaño de las avalanchas, permanecen esencialmente las mismas.

Un observador que estudie un área específica de una pila puede fácilmente identificar los mecanismos que hacen que la arena caiga, y podría incluso predecir si ocurrirán avalanchas en el futuro próximo. Sin embargo, para un observador local las avalanchas grandes serían en gran medida impredecibles, puesto que son consecuencia de la historia total de la pila entera. Sin importar cuál sea la dinámica local, las avalanchas persistirían inmisericordes con una frecuencia relativa que no puede ser alterada. La criticalidad es una propiedad global de la pila.

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En 1956, los geólogos Beno Gutenberg y Charles F. Richter, cuya escala de Richter es famosa, descubrieron que la cantidad de terremotos de gran tamaño está relacionada con la cantidad de terremotos pequeños (la ley de Gutenberg-Richter). El número de terremotos que cada año liberan una cierta cantidad de energía E es proporcional a uno dividido por E a la potencia de b, donde el exponente b es alrededor de 1,5. El exponente b es universal en el sentido de que no depende del área geográfica particular. Por esto, los terremotos grandes son mucho más raros que los pequeños. Por ejemplo, si un área es afectada cada año por, digamos, un terremoto de energía 100 (en ciertas unidades), experimentará aproximadamente 1.000 terremotos de energía 1 cada año.

Dado que el número de terremotos pequeños está sistemáticamente relacionado con la cantidad de terremotos grandes, puede sospecharse que los eventos pequeños y grandes provienen del mismo proceso mecánico.

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La teoría de la criticalidad autorganizada ha tenido éxito no sólo en la explicación de la evolución de los terremotos, sino también en la descripción de la distribución de los epicentros de los terremotos. Por más de una década, los estudiosos han sabido que leyes de tipo potencial pueden describir la distribución de objetos tales como montañas, nubes, galaxias y vórtices en fluidos turbulentos. El número de objetos dentro de, por caso, una esfera de radio r es proporcional a r elevada a la potencia de una constante D. Una distribución tal de objetos es llamada generalmente un fractal. Y encontramos que los fractales describen la distribución de los epicentros de los terremotos.

Aun cuando los fractales aparecen en la naturaleza, los investigadores han comenzado sólo recientemente a entender las dinámicas que crean fractales. Nosotros y nuestros colegas sugerimos que los fractales pueden ser entendidos como instantáneas de procesos críticos autorganizados.

La predicción de terremotos sigue siendo una tarea difícil. La estabilidad de la corteza terrestre parece ser bastante sensitiva a las condiciones iniciales del sistema. Algunas veces, condiciones muy lejanas del epicentro pueden afectar la evolución del terremoto.

Para evaluar la exactitud de predicciones para un sistema dinámico, uno debe conocer las condiciones iniciales con alguna precisión, así como también las reglas de la dinámica. En sistemas no caóticos, tales como la órbita de la Tierra alrededor del Sol, la incertidumbre permanece constante en el tiempo: uno puede determinar la posición de la tierra dentro de un millón de años casi con la misma precisión que puede uno saber su posición hoy.

En sistemas caóticos, una pequeña incertidumbre inicial crece exponencialmente con el tiempo. Más aún, a medida que uno intenta hacer predicciones más lejanas en el futuro, la cantidad de información que uno necesita reunir acerca de las condiciones iniciales aumenta exponencialmente con el tiempo. Básicamente, este crecimiento exponencial impide la predicción a largo plazo.

Para verificar la exactitud de las predicciones en nuestro modelo de terremotos, condujimos dos simulaciones del estado crítico. Las simulaciones difieren por una pequeña fuerza determinada al azar para cada bloque, lo que representa una pequeña incertidumbre respecto de las condiciones iniciales. Cuando corremos las dos simulaciones, la incertidumbre crece con el tiempo, pero mucho más lentamente que lo que lo hace para sistemas caóticos. La incertidumbre aumenta según una ley de tipo potencial, en vez de según una de tipo exponencial. El sistema evoluciona en el borde del caos. Este comportamiento, llamado caos débil, es un resultado de la criticalidad autorganizada.

El caos débil difiere significativamente de un comportamiento plenamente caótico. Los sistemas plenamente caóticos están caracterizados por una escala temporal más allá de la cual es imposible hacer predicciones. Los sistemas débilmente caóticos carecen de una escala temporal de esa clase y por tanto permiten predicciones a largo plazo.

En razón de encontrar que todos los sistemas críticos autorganizados son débilmente caóticos, esperamos que el caos débil sea muy común en la naturaleza. Sería verdaderamente interesante saber si la inexactitud de las predicciones de terremotos, los pronósticos económicos y los del tiempo climático, generalmente aumenta con el tiempo según una ley potencial o una ley exponencial.

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Uno puede pensar en más exóticos ejemplos de criticalidad autorganizada. A través de la historia, las guerras y las interacciones pacíficas pueden haber dejado al mundo en un estado crítico en el que los conflictos y los disturbios sociales se diseminan como avalanchas. La criticalidad autorganizada pudiera incluso explicar cómo se propaga la información a través de las redes neurales del cerebro. No es sorprendente que las tormentas de cerebros pueden ser detonadas por eventos pequeños.

Per Bak & Kan Chen

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