Una sección del Conjunto de Mandelbrot (clic para ampliar)

El gran matemático polaco-franco-estadounidense, Benoît Mandelbrot, autor de La geometría fractal de la naturaleza (1982), ha muerto en Cambridge, Massachusetts, víctima de un cáncer pancreático, poco antes de cumplir 85 años muy fructíferos. En diciembre de 1990 completé un estudio algo apresuradoTratamiento al problema de calidad de la educación superior en Venezuela—en el que inserté un comentario sobre la significación de Mandelbrot, un gigante de los nuevos paradigmas del caos y la complejidad, sin los que es imposible entender correctamente la dinámica de la aventura humana a estas alturas del siglo XXI. Recapturo acá ese fragmento en su memoria. (Véase también en este blog: Introducción a la Complejidad).  LEA

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Si Planck, Einstein, Heisenberg y Gell-Mann son los fenomenólogos de la materia-ener­gía y sus interacciones, René Thom y Benoît Mandelbrot lo son de las formas observables en el universo.

La preocupación de Thom por la forma encontró expresión matemá­tica con las herra­mientas de una rama relativamente nueva y extraordinaria­mente sugestiva de la matemática: la topología. Una manera de entender de qué se ocupa la topología consiste en describirla como el estudio de las propiedades geométricas de los objetos que permanecerían invariantes luego de aplicar sobre ellos deformaciones continuas. Thom aplica los poderosos con­ceptos y proce­dimientos topológicos al problema de la generación de las formas en Estabilidad estructural y morfogénesis, y logra desarrollar va­rios esquemas de cambio morfológico, cada uno con su correspondiente transformación topológica.

El discurso de René Thom tiene un nivel de abstracción en general bas­tante elevado, pero encuentra aplicaciones no sólo en procesos de morfología biológica—tales como los que se ma­nifiestan en el desarrollo embriológico animal o el despliegue de las formas de un árbol—sino también en temas de lingüística y aun de política y economía.

En cierto sentido, Thom reacciona desde su peculiar trinchera contra una ciencia carte­siana que “explicaba todo y no calculaba nada” y una ciencia newtoniana que “calculaba todo pero no explicaba nada”.

Mucho más profundo que el aporte de Thom es el desarrollo de la ciencia de los “fractales”, palabra acuñada por Benoît Mandelbrot para de­signar—otra noción difícil de asir—dimensiones fraccionarias de los objetos. Los fractales son estructuras matemáticas cuyo desa­rrollo comienza a princi­pios de siglo*, con el trabajo del matemático polaco Waclaw Sier­pinski y del francés Gaston Julia, pero su designación por ese nombre se produce en 1975 y re­almente se toma conciencia general de ellos en 1982, con la publicación de la obra de Mandel­brot, La geometría fractal de la naturaleza.

Los fractales ofrecen un método extraordinariamente compacto para la descripción de ciertos objetos y formaciones. Muchas estructuras exhiben una regularidad geométrica subya­cente que se conoce como invariancia a la escala o autosimilaridad. Éste es el caso, por ejem­plo, de la línea de las costas, en las que uno se topa con la misma “fractalidad” a medida que las mira desde diferentes distancias. Si se somete al examen a estos objetos en diferentes es­ca­las, se encuentra repetidamente a los mismos elementos fundamentales. El patrón repetitivo de­fine la dimensión fraccional, o fractal, de esas estructuras. Mandelbrot acuñó la expresión “fractal” a partir del latín fractus, partido o fraccionado.

La geometría fractal describe las formas naturales de un modo mucho más sucinto que la geometría de Euclides. De aquí su poder descriptivo y una de sus principales aplicaciones prác­ticas. La descripción de un cierto objeto complejo por medio del lenguaje fractal puede redu­cir significativamente la cantidad de datos necesarios para transmitir o almacenar una imagen. La hoja de un helecho, por ejemplo, puede ser completamente descrita por un algo­ritmo fractal que se basa en 24 números. Un procedimiento euclidiano que pretendiera hacer lo mismo punto a punto requeriría el manejo de varios cen­tenares de miles de valores numéricos. Es por esto que las técnicas fractales son hoy objeto de intenso estudio por los especialistas en transmisión de imágenes por televisión. El tiempo, la complejidad y el costo de transmitir imágenes de saté­lites podrían ser reducidos drásticamente con el empleo de códigos basados en fractales.

Es difícil imaginar a los fractales sin recurrir a imágenes. Esto, que para un matemático clásico constituiría una concesión de mal gusto y atenta­toria contra el estilo de las matemáticas puras, es hoy en día herramienta co­tidiana de los matemáticos de la fractalidad, quienes hacen uso intensivo de computadores de alto poder para estudiar las estructuras generadas por sus ecuaciones. Que son estructuras complejísimas, de una riqueza insólita, gene­radas a partir de ecuaciones sencillísimas.

Este hecho es lo que hace que la geometría fractal sea el lenguaje ma­temático del “caos”, otra teoría contemporánea y novísima que promete una comprensión mucho más profunda de los procesos del universo. La teoría del caos estudia aquellos fenómenos que siguen reglas de­terministas estrictas y sin embargo son impredecibles en principio. La turbulencia atmosférica, el latido del corazón humano, el movimiento de los precios en un mercado, el “ruido rosado” que los ingenieros de sonido emplean para calibrar sus equi­pos, son algunos de los fenómenos que tienen comportamiento caótico y que comienzan a ser entendidos ahora con ayuda de la ciencia fractal. Esos fenó­menos exhiben patrones de variación similares si se les considera en di­feren­tes escalas temporales, del mismo modo que los objetos con invariancia a la escala exhi­ben patrones estructurales similares a diferentes escalas espaciales. Hay, pues, una profunda rela­ción entre la geometría fractal y los comportamientos caóticos: la geometría fractal es la geo­metría del caos.

El dominio del lenguaje fractal hace entrever la posibilidad de mejo­res y más profundas intuiciones acerca de los procesos básicos del universo, de la evolución de las especies, de la conducta humana. Se trata de una revo­lución excitante, que posiblemente sea el componente más profundo y pode­roso de una nueva episteme, de una nueva concepción del mundo.

*Si se quiere, antes, con el conjunto pulverulento de Georg Cantor (1845-1918), el inventor de la Teoría de Conjuntos.

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