Max Planck, quien comenzó la cosa

 

A Nacha Sucre, “ese norte tan cercano”, y a la memoria de los Eduardos

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Esto es el relato de un descubrimiento en Lógica—de cuya importancia no tengo clara idea y tampoco de si alguien hubiera encontrado lo mismo antes—y de una conjetura en asunto de Física. Lo primero tiene certificación firmada y fechada, lo segundo es un grueso recuerdo; ambos recuentos requieren un preámbulo.

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Conocí a mi esposa el 11 de mayo de 1976. Andrés Ignacio Sucre, su primo hermano, quien había sido mi alumno en la Universidad Metropolitana en su primera sede de San Bernardino, compartía conmigo amistad y gusto por la buena música. (Andrés fue pionero del Sistema de Orquestas Juveniles de Venezuela, la creación de José Antonio Abreu). Me invitó a su casa en la fecha mencionada para escuchar el concierto aniversario de un coro a cuatro voces que dirigía, con sabrosura característica, mi amigo de adolescencia y compadre, Eduardo Plaza Aurrecoechea. En el Día de las Madres del año anterior, había sonado por primera vez—en la casa del Ing. Tomás Enrique Reyna en La Floresta—y al cumplirse un año exacto del estreno conocí a Nacha Sucre, contralto. Desde entonces estoy enamorado. (Al despedirme de Andrés Ignacio, le pregunté por ella en la puerta de su casa, y al llegar a la mía sentí la maciza fiebre de un pensamiento de procedencia misteriosa y que no me abandonaba: yo debía, por encima de todas las cosas, respetar la libertad de la mujer a quien ya amaba. Entonces no conocía a su padre, el insigne pediatra Armando Sucre Eduardo, de quien escribiría mucho más tarde: “Nunca he sabido de nadie que le superase en el terco respeto que guarda por la libertad de sus semejantes”).

Bueno, el día anterior, sin sospechar siquiera la existencia de Cecilia Ignacia Sucre, me encontraba en la oficina que compartía con Eduardo Quintana Benshimol, filósofo, y Juan Forster Bonini, químico. Los había reclutado a ambos para desarrollar una metodología capaz de obtener buenos aprendedores a partir de malos aprendedores, en un proyecto financiado por la Fundación Neumann entre 1975 y 1976. El 10 de mayo de 1976 yo jugaba con la tabla de verdad—invención de Ludwig Wittgenstein en su Tractatus Logico-Philosophicus (1918)—de la función lógica de implicación: si A, entonces B.

Las tablas de verdad son un instrumento práctico para anotar las distintas posibilidades de verdad o falsedad de proposiciones lógicas combinadas, dada la verdad o falsedad de las proposiciones simples que las componen. A partir de éstas, las proposiciones complejas se construyen mediante el empleo de conectivos. Son los conectivos clásicos de la Lógica el conectivo “y”, el conectivo “o” , el conectivo “si… entonces…” (implicación) y el conectivo “…si y sólo si..” (doble implicación). Por ejemplo, el conectivo “y” (nuestra conjunción castellana) funciona de esta manera: si digo “La casa es blanca y el día es claro”, he construido una proposición combinada a partir de dos proposiciones elementales, las oraciones separadas “La casa es blanca” y, luego, “El día es claro”. Digamos que las representamos, respectivamente, por las letras “r” y “s”. La proposición conjunta “La casa es blanca y el día es claro” estaría representada, en una notación bastante extendida, por r^s.

Verdadera en una de cuatro casos

La verdad de esta proposición doble depende de la verdad de las elementales. Ella es verdadera sólo cuando las elementales son ambas verdaderas, y la tabla de verdad de la conjunción lo expresa con claridad. Hablamos con verdad al decir que “El gobierno es malo y la situación terrible” si y sólo si son verdades independientes “El gobierno es malo” y “La situación es terrible”. Basta que una de estas afirmaciones individuales sea falsa para que la proposición conjunta lo sea.

Falsa solamente en uno de cuatro casos

Como dije antes, me ocupaba el 10 de mayo de 1976 con el conectivo de implicación: “si… entonces…” Es decir, con proposiciones de esta forma: “si A, entonces B”, “si p, entonces q”, “si la casa es blanca, entonces el día es claro”, “si r, entonces s”, “si el gobierno es malo, entonces la situación es terrible”. ¿Qué quiere decir la implicación? Que si la implicación es verdadera, el hecho de que la primera proposición elemental sea verdadera obliga a que la segunda lo sea, y que si la primera afirmación es verdadera y la segunda es falsa, entonces la implicación es falsa también. Su tabla de verdad refleja lo que acabo de decir pues, en realidad, la implicación sólo dice algo significativo de los dos casos en los que la primera proposición es verdadera, y como cuando ella es falsa no puede decirse que es falsa la implicación, entonces se le asigna, por simetría, la cualidad de verdadera.

Ustedes dirán que esto es absurdo, pero así es la Lógica formal o cálculo proposicional, y es ese rigor lógico el que llevó a mi hallazgo: simplemente, comencé a añadir sucesivamente nuevas hipótesis a una implicación simple. Esto es, luego de r>s, escribí q>r>s (si q entonces si r entonces s), después si p>q>r>s (si p entonces si q entonces si r entonces s), y así sucesivamente. Por ejemplo, la serie: “Si el gobierno es malo, entonces la situación es terrible”, “Si el Presidente es un pirata, entonces si el gobierno es malo entonces la situación es terrible”, “Si el socialismo es necio, entonces si el Presidente es un pirata entonces si el gobierno es malo entonces la situación es terrible”, “Si ser pobre es bueno, entonces si el socialismo es necio entonces si el Presidente es un pirata entonces si el gobierno es malo entonces la situación es terrible”.

Ya sabemos que la implicación simple es verdadera en tres de cuatro casos (75% de éstos). La situación mejora con cada paso: la siguiente implicación es verdadera en siete de ocho casos (87,5%), la que le sigue en quince de dieciséis casos (93,75%) y “Si ser pobre es bueno, entonces si el socialismo es necio entonces si el Presidente es un pirata entonces si el gobierno es malo entonces la situación es terrible” es falsa sólo en uno entre treinta y dos casos y verdadera en treinta y uno (96, 875%).

Constancia expedida por Eduardo Quintana B. (clic amplía).

De esto trataba mi ociosidad de aquel día, y al anotarla en un Level Book S 1136—un cuaderno de topógrafos que mi padre me había regalado—, la mostré a Eduardo Quintana y le pedí que certificara con su firma el paradójico hallazgo. He aquí la imagen de la página en la que la escribí; Eduardo firmó, con bolígrafo de tinta roja, en la esquina superior derecha. Dicen las notas:

10 de mayo de 1976! la tabla de verdad (TV) de r>s contiene un F en cuatro casos posibles.

la TV de q>(r>s) contiene un F en ocho casos posibles

la TV de p>(q>(r>s)) contiene un F en dieciséis casos posibles y así sucesivamente.

Por tanto, nos podemos aproximar a una tautología tanto como sea posible mediante el expediente de introducir cada vez una implicación que contenga a la anterior.

Una tautología es una verdad lógica en todos los casos; por así decirlo, en todos los universos posibles. Por ejemplo la disyunción—una proposición construida con el conectivo o conjunción “o”—que combine una proposición y su negación: Aˆ-A (A o no A). En toda realidad imaginable es verdad que en cualquier instante “llueve o no llueve”, que un objeto será una silla o no lo será.

En el fondo, lo que encontré es un modelo de ocurrencias reales en cierto tipo de discusión en la que se rebate la proposición de alguien y éste escapa siempre, mediante la introducción de una proposición ad hoc que salva a la primera de la refutación. Los marxistas son hábiles a este respecto; si se les halla en una equivocación, la eluden diciendo, por ejemplo, que nuestro razonamiento obedece a una manera burguesa de pensar. Pero también usan ese método los astrólogos; si la cosa no resulta como predice la carta astrológica que nos hayan construido, dirán que no les proporcionamos la hora exacta de nuestro nacimiento, y así es muy difícil convencerles de su error. No es casualidad que Karl Popper encontrara que el materialismo histórico y la astrología no son discursos científicos. Todo discurso científico debe ser en principio refutable por la experiencia, y las construcciones marxistas y astrológicas son inmunes a esa posibilidad.

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Una situación distinta se presentó en algún día de 1981, cuando ejercía la Secretaría Ejecutiva del Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Tecnológicas (CONICIT). Atraído por la visita al IVIC (Instituto Venezolano de Investigaciones Científicas) de un físico yugoslavo, de quien se decía era uno de los últimos alumnos de Max Planck (1858-1947, el fundador de la física cuántica), me encaminé al Centro de Física para escucharle en una conferencia de corte general. Mencionó, naturalmente, uno de los dogmas de esta ciencia: el principio de indeterminación (o incertidumbre) postulado por Werner Heisenberg. Según este principio, no es posible determinar simultáneamente la posición de una partícula subatómica y su velocidad (más propiamente, su “momento”). Si se ha determinado su posición, entonces se ignora su velocidad; si se ha medido su velocidad, entonces se ignora dónde diablos se encuentra.

Cuando los asistentes pudimos hacer preguntas, tuve el atrevimiento—propio de diletante—de plantearle lo siguiente:

En 1931 el mundo de las ciencias matemáticas fue conmovido por la explosión de una bomba termonuclear del intelecto. El episodio, de conse­cuencias profundas y extraordinarias, fue protagonizado por un matemático y lógico checo, Kurt Gödel, quien demostró lo que probablemente sean los dos teoremas más fundamentales del conocimiento abstracto.

A fines del siglo XIX el matemático alemán David Hilbert pro­puso lo que llegaría a conocerse como programa de Hilbert: el intento de montar todo el edificio de la matemática sobre una base deductiva, al estilo de la geometría de Euclides. Para esos momentos, muy po­cas partes de la matemática estaban construidas de esa manera. A partir del reto de Hilbert, los mejores entre los matemáticos se dieron a la tarea de cumplir el pro­grama. En el camino, más de una vez se toparon con hallazgos contradicto­rios.

Gödel expuso de modo definitivo la razón de las antinomias y contradicciones. Mediante un ingenioso método de “aritmetización” de proposiciones lógicas, Gödel estableció dos teoremas que, en conjunto, de­mostraron que el programa de Hilbert era, de suyo, imposi­ble.

Lo que Gödel determinó fue que no era posible la construcción de un sistema matemático deductivo, de complejidad o riqueza equivalente a la de la aritmética, que fuese completo—esto es, que contuviese como teoremas to­das las afirmaciones verdaderas en el territorio ló­gico que cubre—y que a la vez fuese consistente; es decir, que estuviese libre de contradicciones internas. O sea, si era completo era inconsistente, y si era consistente era incompleto.

El intento de construir un sistema matemático completo conduciría a un conjunto de pro­posiciones entre las cuales se hallaría al menos una pareja de proposiciones que afirmarían jus­tamente lo contrario la una de la otra, y ambas serían deducibles del mismo cuerpo de axiomas por procedimientos perfectamente lógicos.

¿No le parece, profesor, que siendo que la física cuántica está montada sobre un sistema matemático de riqueza superior a la de la aritmética, debe haber rebasado con mucho un “umbral goedeliano” y entonces el principo de Heisenberg, antes que una realidad física, pudiera ser un problema del cálculo o lenguaje lógico que emplea?

Kurt Gödel (Brno, 1906-Princeton, 1978)

No recuerdo otra cosa que el desconcierto del conferencista, cuyo nombre ni siquiera preservo. Google no ha podido encontrarme a un físico de la antigua Yugoslavia que estuviera vivo en 1981, cuando lo escuché, y pudiera haber aprendido directamente de Planck, quien murió en 1947. Hace poco intenté conseguir a alguien que pudiese saber quién era en el Centro de Física del IVIC, infructuosamente, y he sido holgazán para seguir averiguando. Menos todavía puedo contestar yo mismo la pregunta que le hice, pues no dispongo del instrumental teórico necesario. Disparé aquel día mi conjetura irresponsablemente para ver si la pegaba, animado porque la indeterminación de Heisenberg y la incompletitud de Gödel me parecían cosas parecidas. LEA

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