Física del siglo XX – (3)

La generalización de la Teoría de la Relatividad. (1915-1916). La teoría de la gravitación de Newton como caso límite o especial. (El “límite newtoniano”). Las expediciones de Eddington en 1919: primer triunfo experimental de la Teoría General de la Relatividad.

La teoría general de la relatividad, contentiva de una nueva y radical solución para la interpretación física del fenómeno de la gravitación, fue expuesta en Annalen der Physik en 1916. A fines del año anterior, Albert Einstein había presentado sus conclusiones a este respecto en tres sesiones sucesivas ante la Academia Prusiana de Ciencias. El camino hasta acá desde la formulación de la teoría especial había sido largo—once años—y de gran dificultad conceptual y matemática. Había valido la pena. Como lo puso A. P. French[1] en The story of general relativity: “…de todos los grandes logros científicos de Einstein, la teoría general de la relatividad es quizás suprema en su originalidad y grandeza intelectual”.

La experiencia de la gravedad es, naturalmente, tan vieja como la conciencia más primitiva. A un perro se le caen las cosas de la boca, y un ave no debe hacer esfuerzo especial para aterrizar. El peso de nuestros cuerpos es propiedad que nos acompaña siempre, y un proyectil que lancemos al aire con nuestras manos regresa siempre al suelo. En la época de la filosofía griega clásica se había encontrado una explicación a este universal fenómeno.

La explicación, proporcionada en su Physika por Aristóteles, encajaba perfectamente, como era de esperar, en la episteme de la época, la que incluía una cierta “química” y ciertas nociones respecto del tema de la causalidad. La química griega—de hecho, la química desde su época hasta el Renacimiento—reconocía en la naturaleza cuatro sustancias o elementos fundamentales: aire, fuego, tierra y agua. (Los astrólogos de hoy día todavía hablan de signos de tierra, de aire, de agua y de fuego). Una quinta sustancia, el éter, no se encontraba en la tierra, pero llenaba los espacios celestes, o firmamento—la palabra alude a la idea de que los astros estaban fijos en su “esfera”—y, así vimos antes, como idea sobrevivió a los comienzos de la Química moderna hasta 1905, cuando Einstein decretara su defunción al explicar rotundamente el resultado negativo de Michelson y Morley. Cada elemento, por otra parte, tenía su “lugar natural”. (El lugar natural del fuego, por ejemplo, era justamente el de los astros o luminarias del cielo, obviamente constituidos por fuego, dado que emitían luz parecida a la de una hoguera).

Además, Aristóteles postulaba no sólo la existencia de causas antecedentes obvias, sino también “causas finales”, que no estaban al inicio de un proceso, sino a su término y actuaban como un imán que atraía cuerpos y procesos hacia sí.

La combinación de ambos conjuntos de conceptos proporcionaba la explicación para la gravedad. Lo que Aristóteles sostenía era que los cuerpos tendían, por acción de causas finales, a moverse hasta descansar en su lugar natural. Como el lugar natural del fuego era la esfera de los astros, y el del aire la atmósfera que nos rodea, las llamas y el humo—que evidentemente está hecho de aire—ascienden siempre. Como el agua tiende hacia su lugar natural—el océano—las aguas del cielo caen para formar ríos que van a reposar en el mar. Como las substancias duras y secas, obviamente hechas del elemento tierra, buscan descansar en su lugar natural, la Tierra, caen hacia el suelo. En todos los casos el movimiento se produce para buscar el reposo, el estado considerado perfecto.

Esta física fue suficiente para el pensamiento occidental desde la época de Aristóteles (384-322 a. C.) hasta la de Newton (1642-1727). Dos mil años duró la vigencia del paradigma aristotélico en materia de la gravedad. El asedio a esta estructura conceptual comenzaría con los pacientes y valientes trabajos de un italiano originario de Pisa, Galileo Galilei. (1564-1642; el año de su muerte es el del nacimiento de Newton).

Galileo puede ser tenido como el primer físico experimentalista; un observador de los fenómenos que construía experimentos con el objeto de realizar mediciones rigurosas. Sus experimentos con objetos en caída sobre planos inclinados, le permitieron arribar a una fórmula cuantitativa de la aceleración de los cuerpos.

Por su parte, el astrónomo alemán Johannes Kepler (1571-1630), en observaciones astronómicas guiadas por el modelo heliocéntrico del sistema solar del polaco Copérnico (1473-1543), encontró que las órbitas descritas por los planetas no eran circulares sino elípticas, a las que dio una precisa formulación matemática.

Los resultados de Kepler y Galileo, que no parecían contradecir la noción aristotélica de gravedad de causa final, fueron finalmente explicados en la teoría de la gravitación universal de Isaac Newton (1687) mediante un nuevo paradigma. Propuso Newton que ambos fenómenos, la circunvalación del sol por los planetas y la caída de los cuerpos hacia la superficie terrestre, se debían a una misma causa, una fuerza de atracción universal que actuaba a distancia y se transmitía instantáneamente por el espacio. Esta fuerza, más allá de ser postulada, recibió una precisa formulación cuantitativa: resultaba de la multiplicación de las masas de dos cuerpos que se atrajesen mutuamente, dividida por el cuadrado de la distancia que los separaba. (Mientras más masivos los cuerpos, mayor sería la fuerza de atracción; mientras más separados estuvieran, la atracción sería menor). La hermosa fórmula de Newton predecía las elipses de Kepler, y de ella se deducía la ley de los cuerpos en caída de Galileo. Aristóteles había adquirido rango cuasirreligioso, al haber sido asumida in toto su filosofía por la escolástica católica, a partir de su integración en el pensamiento del más grande de los doctores de la iglesia: Santo Tomás de Aquino. Con Newton, un gigante[2] se había manifestado en todo su esplendor para dejar a la Física de Aristóteles en el olvido.

Digresión

El impacto causado por la obra de Newton fue gigantesco, y no sólo sobre la comunidad científica. El poeta y satírico inglés—To err is human, to forgive divine—Alexander Pope (1688-1744) evidenció su admiración por el genio en los siguientes versos pareados:

Nature and Nature’s laws lay hid in night

God said Let Newton be! And all was light.

en evidente y feliz parodia del texto del Génesis. Pero no todos pensaban como él. William Blake (1757-1827), poeta, pintor y grabador inglés, acusaba a Newton—así como a Locke y Bacon—de haber dejado a Dios fuera de su excesivo racionalismo. (Escribió que eran “los tres grandes maestros del ateísmo, o la doctrina de Satán”).

Dos famosos grabados de Blake ilustran su adversaria opinión sobre Newton:

En el primero, su frontispicio para Europe: A Prophecy, muestra a Dios dando luz al universo mientras determina sus leyes con un compás. En el grabado de la derecha (“Newton”, 1795), el científico trabaja igualmente con un compás, pero no sobre el mundo sino sobre un pergamino, y su figura, a la que se le ve un solo ojo—Blake alardeaba de tener visión cuádruple y opinaba que Newton tenía visión única—hace transición desde la rica roca iluminada hacia la oscuridad. Para Blake, la visión newtoniana, solitaria y desnuda de religión y sentimiento, traía not light, but night, exactamente lo contrario de lo estimado por Pope.

La médula, pues, de la revolución newtoniana consistía en una fuerza universal de atracción que actuaba instantáneamente a distancia (no local), y éste era el paradigma que sustituía al paradigma aristotélico: los cuerpos hechos del elemento tierra que eran atraídos al reposo desde la causa final de su lugar natural.

………

El paradigma newtoniano sería a su vez suplantado por el nuevo paradigma propuesto por Einstein: nada podía transmitirse instantáneamente en el universo, pues la velocidad máxima era la de la luz, que si bien es muy grande en términos de velocidades terrestres y pedestres, no es infinita. Ésta era una condición ya anticipada por la teoría especial de la relatividad. Por otro lado, no había ninguna fuerza que atrajera los cuerpos. Éstos describían trayectorias curvilíneas en torno a cuerpos de masa mayor, porque la presencia de masa en el espacio producía en éste una curvatura. (Más precisamente, en el continuo espacio-tiempo, el espacio de Minkowski, uno de los profesores de Einstein en el Politécnico de Zürich). Lo que se curvaba no era la trayectoria sino el territorio. Y esto fue la revolución paradigmática de la teoría general de la relatividad de 1916.

La búsqueda de la generalización a sistemas acelerados—con gravitación—había comenzado desde el mismo año de 1905, cuando Einstein derivase la equivalencia de masa y energía. En efecto, la teoría especial había logrado la fusión de electromagnetismo y mecánica, pero en marcos de referencia en estado uniforme de movimiento. Faltaba traer la gravitación al esquema relativista. En sus Notas autobiográficas (1946), comentó Einstein: “Que la teoría especial de la relatividad era sólo el primer paso de un desarrollo necesario se me hizo completamente claro sólo con mis esfuerzos por representar la gravitación en el marco de esta teoría”. Luego explica cómo reconoció que una teoría satisfactoria debía incluir los siguientes resultados: 1) el requerimiento de la teoría especial de que la masa inercial de un cuerpo dependa de su energía total, y que aquélla aumente al aumentar la energía cinética, lo que Einstein había propugnado en su “cuarto” trabajo de 1905, en el que estableciera E = m.c²; 2) experimentos de gran precisión habían demostrado que la masa gravitacional de un cuerpo es exactamente proporcional a su masa inercial.

Al combinar ambos resultados, se sigue que el peso de un cuerpo depende en una forma precisamente determinada de su energía total. Einstein comentaría después: “Si la teoría no obtenía esto o no pudiera hacerlo de forma natural, sería rechazada”. La teoría especial de la relatividad no podía derivar esa conclusión, pero al cabo Einstein llegó a pensar la idea crucial: “El hecho de la igualdad de las masas inercial y gravitacional, es decir, el hecho de que la aceleración gravitacional es independiente de la naturaleza de la sustancia que cae, puede ser expresado como sigue: en un campo gravitacional (de pequeña extensión espacial) los objetos se comportan como lo harían en un espacio libre de gravitación si uno introduce, en lugar de un ‘sistema inercial’, un sistema de referencia que es acelerado respecto de un sistema inercial”.

Había nacido el famoso “principio de equivalencia”, el que establece que un campo de fuerza gravitacional es precisamente equivalente, dentro de una región limitada, a un campo de fuerza artificial asociado con una aceleración general del marco de referencia.

El principio de equivalencia se comprende fácilmente al considerar otro experimento imaginario propuesto por el propio Einstein: una persona que estuviera en un compartimiento cerrado, no podría distinguir diferencia si este compartimiento reposara sobre el suelo o se encontrase en el espacio acelerado hacia arriba por una fuerza equivalente en magnitud a la de la gravitación[3].

Einstein publicó una larga descripción del principio de equivalencia en Jahrbuch (Anuario) der Radioaktivität. (1907). Cuatro años más tarde, Einstein publicó un trabajo que ya comentaba acerca del efecto de la gravedad sobre la propagación de la luz. En este paper se predecía que los rayos de luz que pasaran cerca de la superficie del Sol se desviarían en su trayectoria por un ángulo de 0,85 segundos de arco. Este valor correspondía a un análisis newtoniano, que trataba la luz como compuesta de partículas de masa m viajando a la velocidad de la luz c. La desviación teórica equivalía a calcular el término 2GM / c²R, donde M y R son la masa y el radio del Sol, c es la velocidad de la luz y G es la constante de gravitación universal de Newton. (980 centímetros sobre segundo al cuadrado).

El valor calculado para la desviación era más o menos la mitad de lo que Einstein propondría en 1916, una vez que desarrollara por completo la teoría general. Para esto tendría que darse cuenta de que el espacio “no es meramente el escenario en el que los objetos materiales se mueven e interactúan, sino que la geometría fundamental del espacio depende de la presencia y distribución de la materia””[4]. Como lo pone Edmund Whittaker, que “la gravedad es debida a un cambio en la curvatura del espacio-tiempo causado por la presencia de materia”.

Llevar estas ideas a una formulación física rigurosa, sin embargo, requería matemáticas muy avanzadas (análisis de “tensores”, una entidad matemática análoga a los vectores), y aquí Einstein contó con la ayuda del geómetra Marcel Grossmann, su amigo y antiguo compañero de estudios. Con él publicó conjuntamente en 1913 una comunicación preliminar: “Esquema de una teoría generalizada de la relatividad y una teoría de la gravitación”. Mudado de Zürich a Berlín, donde iba a ocupar una cátedra profesoral, Einstein continuó trabajando en las consecuencias que se derivarían de la construcción. Poco después publicaría solo (1916) “Los fundamentos de la teoría general de la relatividad” (Die Grundlagen der allgemeinen Relativitätstheorie) en la acostumbrada Annalen der Physik. Y en este trabajo ya estaba el cálculo nuevo de la desviación de los rayos de luz que pasaran cerca de la superficie solar: el nuevo valor predicho era de 1,75 segundos de arco.

Este artículo de Einstein contenía al final tres consecuencias de la nueva teoría que podrían ser comprobadas experimentalmente, y entre éstas la más dramática era justamente la de la desviación de la luz en las cercanías de un fuerte campo gravitacional. La observación a realizar era relativamente simple: bastaba fotografiar la posición de un grupo de estrellas cuando éste se encontrase rozando, por decirlo así, el borde de la superficie solar, para compararla con la posición que tendría cuando estuviese alejado del Sol. Naturalmente, la luminosidad del Sol impediría registrar la posición de las estrellas cercanas… a menos que la medición se realizara durante un eclipse solar, cuando la superficie del astro estuviera oscurecida. La primera oportunidad había sido desaprovechada, cuando Einstein todavía era newtoniano y había predicho un efecto de sólo 0,85 segundos de arco, antes de haber migrado del espacio newtoniano al de Minkowski, razón por la que se salvó de ser expuesto con un error de 100%.

Luego se interpuso la Gran Guerra cuando Einstein, entonces en Berlín, había encontrado, una vez liberado de su atadura conceptual, el valor correcto de 1,75 en 1915.  El conflicto no impidió que llegara una copia del artículo de Einstein (1916) a manos de Arthur Eddington, a través del astrónomo holandés Willem de Sitter. El gobierno inglés aprobó el proyecto presentado por Eddington para la medición del efecto predicho por Einstein, con lo que se quitó de encima la costosa decisión de internar a Eddington, que tenía una postura pacifista de conciencia. La fecha caería en 1919, una vez terminada la guerra. Eddington organizó una expedición a Sobral, en Brasil, y una a la isla de Príncipe, a las afueras del golfo de Guinea. Ambas registraron, el 29 de mayo de 1919, una asombrosa fidelidad entre lo predicho teóricamente y los hechos observados. Los resultados no serían conocidos por Einstein hasta el 27 de septiembre, de telegrama que le enviara Hendrik Lorentz. Ese día escribió a su madre: “H. A. Lorentz me ha telegrafiado que las expediciones británicas han confirmado definitivamente la desviación de la luz por el Sol”.

La noticia del acontecimiento corrió como reguero de pólvora por el planeta.

………

Es conocido que Einstein pareció siempre tener una relación muy cómoda con Dios, a quien mencionaba a cada rato para afirmar puntos de física teórica, lo que llevó a Niels Bohr a solicitarle que dejara de decir a Dios lo que tenía que hacer. En una de sus más conocidas enunciaciones dijo: “Dios es refinado, pero no es malicioso”. (Raffiniert ist der Herr Gott, aber boshaft ist Er nicht). Preguntado por lo que habría dicho de Dios si los experimentos de Príncipe y Sobral hubieran resultado diferentes, contestó: “Lo hubiera sentido mucho por él”.

Igualmente estuvo cómodo con la física de Newton. Poco antes de la publicación de su artículo cumbre escribió en una carta a Arnold Sommerfeld (noviembre de 1915): “Este último mes he vivido el período más excitante y exigente de mi vida; y también sería verdad decir que también ha sido el más fructífero… La cosa maravillosa que ha ocurrido es que no sólo la teoría de Newton resultaba de ella [la relatividad general] como primera aproximación, sino también el movimiento del perihelio de Mercurio como segunda aproximación”.

Lo que Einstein expresaba acá, por una parte, es que la mecánica newtoniana se preservaba intacta como un caso especial o límite[5] de sus más generales ecuaciones, por un lado, y que su propia teoría lograba predecir correctamente un fenómeno que Newton no podía computar: la precesión de la órbita de Mercurio. Los planetas no sólo interactúan gravitacionalmente con el Sol, sino también entre ellos mismos, y una de las consecuencias de este hecho es que los ejes de sus órbitas elípticas rotan muy lentamente. Las ecuaciones de Newton no podían justificar completamente este efecto, el que era más notable en el caso de Mercurio, dada su mayor cercanía al Sol. (Mercurio exhibe una órbita pequeña de gran excentricidad; esto es, su órbita es más elíptica que circular comparada con la de los restantes planetas). Los cálculos computaban un exceso residual de unos 42 segundos de arco de precesión (por siglo) que no podía ser explicado por Newton[6].

Esa precesión residual de la órbita de Mercurio podía explicarse en caso de que la fuerza gravitacional debida al Sol no siguiese exactamente la fórmula de Newton, de proporcionalidad inversa a la distancia. La curvatura del espacio-tiempo introducía, en efecto, un término extra en el cálculo, y al hacer los cómputos según las ecuaciones de Einstein, se obtuvo un acuerdo prácticamente perfecto con los valores observados. La observación proporcionaba un valor promedio de 43,11 ± 0,45 segundos de arco por siglo, mientras la teoría general de la relatividad pronosticaba una tasa de precesión de 43,03. Este resultado, y otros predichos por la teoría, contribuyeron a asentar el mayor respeto por ella. Einstein, que había logrado en 1905 integrar mecánica y electromagnetismo, sumaba ahora a su poderosa síntesis una explicación satisfactoria de la gravitación. Faltaba sólo incorporar los nuevos campos observados a escala subatómica, y a esta tarea (teoría del campo unificado) dedicó infructuosamente los últimos años de su vida. Es una tarea aún por realizar, mientras la Física busca todavía una theory of everything. (TOE). LEA

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[1] Profesor de Física en Massachusetts Institute of Technology y Presidente de la Comisión Internacional de Educación en Física para el centenario del nacimiento (1979) de Albert Einstein.

[2] Newton escribió, en carta a Robert Hooke, la siguiente frase: “Si vi más lejos fue porque subí sobre los hombros de gigantes”, en alusión, precisamente, a Galileo y Kepler.

[3] Un cuerpo en caída libre y aceleración uniforme no está sujeto a fuerza gravitacional. Éste es el caso de los astronautas que flotan dentro de sus naves y, si a ver vamos, el de los planetas, incluida en ellos la Tierra. La masa de la Tierra sigue siendo enorme en comparación a la nuestra, pero su peso (la fuerza con la que sería atraída “hacia abajo”) es exactamente cero. En un ascensor cuyos cables se rompieran súbitamente se experimentaría la misma sensación de ingravidez.

[4] A. P. French, de quien se toma la cita de Whittaker.

[5] Después de la teoría einsteniana de la gravitación, contenida en su teoría general de la relatividad, su aplicación al campo cosmológico ha suscitado un cierto número de teorías alternas, todas relativistas, que se diferencian de ella en el valor de algunos parámetros. (Brans-Dicke, por ejemplo). A estas teorías se les exige, entre otras cosas, que sean compatibles con la teoría especial de la relatividad y que respeten el “límite newtoniano”, es decir, que incluyan la mecánica de Newton como caso especial en los límites de sus ecuaciones.

[6] Era posible tomar en cuenta, con Newton, las interacciones interplanetarias, que introducían pequeñas perturbaciones en las órbitas del sistema solar. De hecho, el análisis newtoniano de la perturbación de la órbita de Urano condujo al descubrimiento de Neptuno en 1846, en lo que constituyó una dramática reivindicación de los Principia.