Max Planck, quien comenzara la cosa
A Nacha Sucre, «ese norte tan cercano», y a la memoria de los Eduardos
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Esto es el relato de un descubrimiento en Lógica—de cuya importancia no tengo clara idea y tampoco de si alguien hubiera encontrado lo mismo antes—y de una conjetura en asunto de Física. Lo primero tiene certificación firmada y fechada, lo segundo es un grueso recuerdo; ambos recuentos requieren un preámbulo.
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Conocí a mi esposa el 11 de mayo de 1976. Andrés Ignacio Sucre, su primo hermano, quien había sido mi alumno en la Universidad Metropolitana en su primera sede de San Bernardino, compartía conmigo amistad y gusto por la buena música. (Andrés fue pionero del Sistema de Orquestas Juveniles de Venezuela, la creación de José Antonio Abreu). Me invitó a su casa en la fecha mencionada para escuchar el concierto aniversario de un coro a cuatro voces que dirigía, con sabrosura característica, mi amigo de adolescencia y compadre, Eduardo Plaza Aurrecoechea. En el Día de las Madres del año anterior, había sonado por primera vez—en la casa del Ing. Tomás Enrique Reyna en La Floresta—y al cumplirse un año exacto del estreno conocí a Nacha Sucre, contralto. Desde entonces estoy enamorado. (Al despedirme de Andrés Ignacio, le pregunté por ella en la puerta de su casa, y al llegar a la mía sentí la maciza fiebre de un pensamiento de procedencia misteriosa y que no me abandonaba: yo debía, por encima de todas las cosas, respetar la libertad de la mujer a quien ya amaba. Entonces no conocía a su padre, el insigne pediatra Armando Sucre Eduardo, de quien escribiría mucho más tarde: «Nunca he sabido de nadie que le superase en el terco respeto que guarda por la libertad de sus semejantes»).
Bueno, el día anterior, sin sospechar siquiera la existencia de Cecilia Ignacia Sucre, me encontraba en la oficina que compartía con Eduardo Quintana Benshimol, filósofo, y Juan Forster Bonini, químico. Los había reclutado a ambos para desarrollar una metodología capaz de obtener buenos aprendedores a partir de malos aprendedores, en un proyecto financiado por la Fundación Neumann entre 1975 y 1976. El 10 de mayo de 1976 yo jugaba con la tabla de verdad—invención de Ludwig Wittgenstein en su Tractatus Logico-Philosophicus (1918)—de la función lógica de implicación: si A, entonces B.
Las tablas de verdad son un instrumento práctico para anotar las distintas posibilidades de verdad o falsedad de proposiciones lógicas combinadas, dada la verdad o falsedad de las proposiciones simples que las componen. A partir de éstas, las proposiciones complejas se construyen mediante el empleo de conectivos. Son los conectivos clásicos de la Lógica el conectivo «y», el conectivo «o» , el conectivo «si… entonces…» (implicación) y el conectivo «…si y sólo si..» (doble implicación). Por ejemplo, el conectivo «y» (nuestra conjunción castellana) funciona de esta manera: si digo «La casa es blanca y el día es claro», he construido una proposición combinada a partir de dos proposiciones elementales, las oraciones separadas «La casa es blanca» y, luego, «El día es claro». Digamos que las representamos, respectivamente, por las letras «r» y «s». La proposición conjunta «La casa es blanca y el día es claro» estaría representada, en una notación bastante extendida, por r^s.
Verdadera en una de cuatro casos
La verdad de esta proposición doble depende de la verdad de las elementales. Ella es verdadera sólo cuando las elementales son ambas verdaderas, y la tabla de verdad de la conjunción lo expresa con claridad. Hablamos con verdad al decir que «El gobierno es malo y la situación terrible» si y sólo si son verdades independientes «El gobierno es malo» y «La situación es terrible». Basta que una de estas afirmaciones individuales sea falsa para que la proposición conjunta lo sea.
Falsa solamente en uno de cuatro casos
Como dije antes, me ocupaba el 10 de mayo de 1976 con el conectivo de implicación: «si… entonces…» Es decir, con proposiciones de esta forma: «si A, entonces B», «si p, entonces q», «si la casa es blanca, entonces el día es claro», «si r, entonces s», «si el gobierno es malo, entonces la situación es terrible». ¿Qué quiere decir la implicación? Que si la implicación es verdadera, el hecho de que la primera proposición elemental sea verdadera obliga a que la segunda lo sea, y que si la primera afirmación es verdadera y la segunda es falsa, entonces la implicación es falsa también. Su tabla de verdad refleja lo que acabo de decir pues, en realidad, la implicación sólo dice algo significativo de los dos casos en los que la primera proposición es verdadera, y como cuando ella es falsa no puede decirse que es falsa la implicación, entonces se le asigna, por simetría, la cualidad de verdadera.
Ustedes dirán que esto es absurdo, pero así es la Lógica Formal o Cálculo Proposicional, y es ese rigor lógico el que llevó a mi hallazgo: simplemente, comencé a añadir sucesivamente nuevas hipótesis a una implicación simple. Esto es, luego de r>s, escribí q>r>s (si q entonces si r entonces s), después si p>q>r>s (si p entonces si q entonces si r entonces s), y así sucesivamente. Por ejemplo, la serie: «Si el gobierno es malo, entonces la situación es terrible», «Si el Presidente es un pirata, entonces si el gobierno es malo entonces la situación es terrible», «Si el socialismo es necio, entonces si el Presidente es un pirata entonces si el gobierno es malo entonces la situación es terrible», «Si ser pobre es bueno, entonces si el socialismo es necio entonces si el Presidente es un pirata entonces si el gobierno es malo entonces la situación es terrible».
Ya sabemos que la implicación simple es verdadera en tres de cuatro casos (75% de éstos). La situación mejora con cada paso: la siguiente implicación es verdadera en siete de ocho casos (87,5%), la que le sigue en quince de dieciséis casos (93,75%) y «Si ser pobre es bueno, entonces si el socialismo es necio entonces si el Presidente es un pirata entonces si el gobierno es malo entonces la situación es terrible» es falsa sólo en uno entre treinta y dos casos y verdadera en treinta y uno (96,875%).
Constancia expedida por Eduardo Quintana B. (clic amplía).
De esto trataba mi ociosidad de aquel día, y al anotarla en un Level Book S 1136—un cuaderno de topógrafos que mi padre me había regalado—, la mostré a Eduardo Quintana y le pedí que certificara con su firma el paradójico hallazgo. He aquí la imagen de la página en la que la escribí; Eduardo firmó, con bolígrafo de tinta roja, en la esquina superior derecha. Dicen las notas:
10 de mayo de 1976! la tabla de verdad (TV) de r>s contiene un F en cuatro casos posibles.
la TV de q>(r>s) contiene un F en ocho casos posibles
la TV de p>(q>(r>s)) contiene un F en dieciséis casos posibles y así sucesivamente.
Por tanto, nos podemos aproximar a una tautología tanto como sea posible mediante el expediente de introducir cada vez una implicación que contenga a la anterior.
Una tautología es una verdad lógica en todos los casos; por así decirlo, en todos los universos posibles. Por ejemplo la disyunción—una proposición construida con el conectivo o conjunción «o»—que combine una proposición y su negación: Aˆ-A (A o no A). En toda realidad imaginable es verdad que en cualquier instante «llueve o no llueve», que un objeto será una silla o no lo será.
En el fondo, lo que encontré es un modelo de ocurrencias reales en cierto tipo de discusión en la que se rebate la proposición de alguien y éste escapa siempre, mediante la introducción de una proposición ad hoc que salva a la primera de la refutación. Los marxistas son hábiles a este respecto; si se les halla en una equivocación, la eluden diciendo, por ejemplo, que nuestro razonamiento obedece a una manera burguesa de pensar. Pero también usan ese método los astrólogos; si la cosa no resulta como predice la carta astrológica que nos hayan construido, dirán que no les proporcionamos la hora exacta de nuestro nacimiento, y así es muy difícil convencerles de su error. No es casualidad que Karl Popper encontrara que el materialismo histórico y la astrología no son discursos científicos. Todo discurso científico debe ser en principio refutable por la experiencia, y las construcciones marxistas y astrológicas son inmunes a esa posibilidad.
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Una situación distinta se presentó en algún día de 1981, cuando ejercía la Secretaría Ejecutiva del Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Tecnológicas (CONICIT). Atraído por la visita al IVIC (Instituto Venezolano de Investigaciones Científicas) de un físico yugoslavo, Lubomir David, de quien se decía era uno de los últimos alumnos de Max Planck (1858-1947, el fundador de la física cuántica), me encaminé al Centro de Física para escucharle en una conferencia de corte general. Mencionó, naturalmente, uno de los dogmas de esta ciencia: el principio de indeterminación (o incertidumbre) postulado por Werner Heisenberg. Según este principio, no es posible determinar simultáneamente la posición de una partícula subatómica y su velocidad (más propiamente, su «momento»). Si se ha determinado su posición, entonces se ignora su velocidad; si se ha medido su velocidad, entonces se ignora dónde diablos se encuentra.
Cuando los asistentes pudimos hacer preguntas, tuve el atrevimiento—propio de diletante—de plantearle lo siguiente:
En 1931 el mundo de las ciencias matemáticas fue conmovido por la explosión de una bomba termonuclear del intelecto. El episodio, de consecuencias profundas y extraordinarias, fue protagonizado por un matemático y lógico checo, Kurt Gödel, quien demostró lo que probablemente sean los dos teoremas más fundamentales del conocimiento abstracto.
A fines del siglo XIX el matemático alemán David Hilbert propuso lo que llegaría a conocerse como programa de Hilbert: el intento de montar todo el edificio de la matemática sobre una base deductiva, al estilo de la geometría de Euclides. Para esos momentos, muy pocas partes de la matemática estaban construidas de esa manera. A partir del reto de Hilbert, los mejores entre los matemáticos se dieron a la tarea de cumplir el programa. En el camino, más de una vez se toparon con hallazgos contradictorios.
Gödel expuso de modo definitivo la razón de las antinomias y contradicciones. Mediante un ingenioso método de “aritmetización” de proposiciones lógicas, Gödel estableció dos teoremas que, en conjunto, demostraron que el programa de Hilbert era, de suyo, imposible.
Lo que Gödel determinó fue que no era posible la construcción de un sistema matemático deductivo, de complejidad o riqueza equivalente a la de la aritmética, que fuese completo—esto es, que contuviese como teoremas todas las afirmaciones verdaderas en el territorio lógico que cubre—y que a la vez fuese consistente; es decir, que estuviese libre de contradicciones internas. O sea, si era completo era inconsistente, y si era consistente era incompleto.
El intento de construir un sistema matemático completo conduciría a un conjunto de proposiciones entre las cuales se hallaría al menos una pareja de proposiciones que afirmarían justamente lo contrario la una de la otra, y ambas serían deducibles del mismo cuerpo de axiomas por procedimientos perfectamente lógicos.
¿No le parece, profesor, que siendo que la física cuántica está montada sobre un sistema matemático de riqueza superior a la de la aritmética, debe haber rebasado con mucho un «umbral goedeliano» y entonces el principio de Heisenberg, antes que una realidad física, pudiera ser un problema del cálculo o lenguaje lógico que emplea?
Kurt Gödel (Brno, 1906-Princeton, 1978)
No recuerdo otra cosa que el desconcierto del conferencista. Menos todavía puedo contestar yo mismo la pregunta que le hice, pues no dispongo del instrumental teórico necesario. Disparé aquel día mi conjetura irresponsablemente para ver si la pegaba, animado porque la indeterminación de Heisenberg y la incompletitud de Gödel me parecían cosas parecidas. LEA
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Estimado Profesor: deploro que ese físico no le diera a Ud. una respuesta. Mi mentor, en alguna ocasión, me hizo mención a algo de similar tenor. A veces, me decía: «Cuando no podemos otear el experimento con el instrumental teórico del que disponemos, pudiéramos encontrarnos con una incompletitud esencial. A un teórico en formación, esto puede distraerle y quizás debemos escudriñar sólo con los ojos de las matemáticas. O ellas no nos alcanzan para describir, o debemos cambiar de perspectiva». Tenía el don de dejarme todo incompleto, para invitarme a explorar más.
La Física pudiera verse como una aproximación creciente de verdades, hasta que ¡zas! nos tropezamos con un nuevo fenómeno que no podemos derivar de nuestras verdades anteriores.
Sin pretender ni afirmar ni refutar su apreciación, que por demás celebro de un diletante, le dejo aquí otros intentos de similar tenor. El primero es un video: http://www.dailymotion.com/video/x687wm_incompletitud-godel-heisenberg-verd_webcam donde se trata el mismo tema. El segundo, un escrito que agrega dos cuestiones más, también escritas por un científico de la computación que hace una interesante reflexión entre Relatividad, Incertidumbre, Incompletitud e Indecibilidad. Para algunos, la naturaleza es algorítmica—tengo una cierta resistencia esencial a ello, pero Steve Wolfram lo intenta así—pero igual es un divertimento: http://chato.cl/blog/2005/08/relatividad_incertidumbre_incompletitud_e_indecidibilidad.html
Cordiales Saludos,
Savi Vila, Ph.D.
PS: Le dejo esta referencia del último autor citado: Viscous Democracy for Social Networks.
Mil gracias, Dr. Vila, por su ayuda en este difícil tema. Ya he disfrutado el estimulante video.
La aproximación creciente a las verdades de la Física es una manera de poner sucintamente la tesis de Karl Popper, quien escribiera todo un libro—Conjectures and Refutations—para describir el método eternamente tentativo de la ciencia. Y, hasta cierto punto, la historia del pensamiento riguroso en el siglo XX ha sido el descubrimiento de los límites—al pensamiento mismo en Wittgenstein, a la cuántica con Heisenberg, a lo que puede hacerse en matemáticas según Gödel—; es decir, una reiterada lección de humildad.
Le agradezco las delicatessen que me envía; es uno de mis placeres tratar de entender lo que puedo de la Física—a pesar de mi adiestramiento en ciencias médicas básicas, poco leo ahora acerca de lo biológico—, especialmente en los gruesos temas cosmológicos y los más finos de la física subatómica. Cuando mi presupuesto me lo permite, me doy un banquete con algún número de Scientific American. En este blog encontrará el atrevimiento de unas «lecciones de Física» con las que intenté comunicar mi pasión a un amigo abogado que expresó curiosidad.
Encuentro un placer intrínseco en la hermosura de la Física, pero también estructuras conceptuales trasladables con utilidad al campo filosófico—vea, por favor, en este blog Proyecto Fénix: Teología conjetural, donde menciono la comprensión de la naturaleza como algoritmo (Edward Fredkin)—e incluso al reino de lo político. Creo que es la nueva ciencia de la complejidad y el caos la fuente apropiada para nuevos paradigmas de lo social (por ejemplo, Temas de Política Clínica (3)). En 1984, por otra parte, empleé la noción de indecidibilidad para comentar dificultades en la comprensión de Diego Bautista Urbaneja acerca de la proposición (Úslar Pietri-Alcalá) de una comunidad ibérica de naciones: «Éste es, en verdad, un período de indecisiones. Pero es en gran medida un período de indecisión porque es un período de indecidibilidad; porque, como ocurre cada vez que un esquema, una tesis, una doctrina prevaleciente queda rebasada por los problemas, parece trabarse y ser incapaz de ofrecer la posibilidad de decidir. Dentro de un paradigma ya agotado, el problema es que encontramos proposiciones para las que carecemos de regla de decisión. Dentro de un paradigma que ya se nos trabó, nos es imposible conciliar la idea de la validez de la emancipación americana con la de una nueva reunión. En cambio, en un punto de vista desde el que pasear la mirada ya no reconoce, entre otras cosas, la realidad ya muerta de un sojuzgamiento por parte de España, es posible seguir declarando la grandeza de la epopeya de Bolívar y la altísima conveniencia de la confederación». (Debate: Viso, Urbaneja, Alcalá, Revista Válvula, Nº 1, diciembre de 1984).
Naturalmente, era sobre indecidibilidades que versaba el trabajo de Gödel en 1931: Sobre proposiciones formalmente indecidibles de Principia Mathematica y sistemas relacionados. Aunque esto parece arcano, estoy firmemente convencido de que eso y cosas parecidas, nociones científicas fundamentales, pueden ser explicadas con transparencia al ciudadano común y que, además, es muy conveniente hacerlo. Le dejo, agradecido, con la siguiente anécdota:
En un programa de radio dedicado al análisis político, hace pocos años, el conductor del mismo decidió explicar a sus oyentes en qué consistía una “caja de conversión”, cuando esta receta económica empezaba a ser propuesta en Venezuela. Al poco rato recibió la llamada telefónica de un oyente, quien dijo: “Lo que Ud. está explicando es muy interesante, pero ¿no cree que debería hablar Ud. más bien del precio del ajo y la cebolla en el mercado de Quinta Crespo, porque eso no lo entiende el pueblo-pueblo?” Mientras el conductor del programa contrargumentaba para oponerse a la postura del oyente telefónico, un segundo oyente llamó a la emisora. Y así dijo al conductor: “Mire, señor. Yo me llamo Fulano de Tal; yo vivo en la parroquia 23 de Enero; yo soy pueblo-pueblo; y yo le entiendo a Ud. muy claro todo lo que está explicando. No le haga caso a ese señor que acaba de llamar”. (De héroes y de sabios, junio de 1998).
Yo conducía entonces, en Unión Radio, el programa Argumento.