La contracción de Lorentz-FitzGerald: un intento por salvar a Newton. El annus mirabilis de 1905. Albert Einstein y la Teoría Especial de la Relatividad. (Sobre la electrodinámica de los cuerpos en movimiento, en Annalen der Physik). Su interpretación cuántica del efecto fotoeléctrico.

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Isaac Newton no ignoraba que los movimientos aparentes de los astros eran relativos. Esto era obvio de móviles terrestres, pero también de la Luna y los planetas conocidos en el sistema solar. Hasta el Sol se movía. ¿Cómo sería posible encontrar un marco de referencia absoluto (en reposo) a partir del cual se pudiera medir un movimiento absoluto y un tiempo absoluto, requeridos por los axiomas de la mecánica newtoniana?

El “éter luminífero”, presunto portador de las ondas electromagnéticas de Maxwell, era el único candidato disponible, pero el experimento de Michelson-Morley determinó que ciertos efectos (viento del éter) de esta entidad hipotética no eran detectables. Parecía que el edificio newtoniano estaba a punto de derrumbarse por colapso de sus bases.

En socorro de Newton, un físico irlandés, George Francis FitzGerald, y uno holandés, Hendrik Antoon Lorentz, propusieron independientemente la existencia del fenómeno que se conoció luego como “contracción de Lorentz-FitzGerald”. Así, adelantaron que los resultados nulos del experimento de Michelson y Morley[1] podían coexistir con la idea de que la Tierra viaja a través del éter si se presumía que los cuerpos en traslación acortaban su tamaño en la dirección de su movimiento. (La dimensión perpendicular a esta dirección no se vería afectada). Además postularon que este acortamiento o contracción se incrementaría a medida que el móvil se moviera con velocidad creciente hasta alcanzar la velocidad de la luz, momento en que el cuerpo en cuestión estaría completamente achatado.

La explicación parecía funcionar. En términos de Newton, las velocidades relativas se computan con una simple suma algebraica. Si alguien lanza hacia mí una pelota que sale de su mano a 100 kilómetros por hora, mientras me muevo en su dirección a 10 kilómetros por hora, debo recibirla más pronto que si permaneciera estacionario, pues la suma de velocidades implica que la bola me llegaría a la velocidad relativa de 110 kilómetros por hora. Esto era lo que se esperaba detectar, para la velocidad de la luz proveniente del espacio, con el interferómetro de Michelson. La velocidad de la luz proveniente de una fuente a la que la Tierra se acercara, debía ser mayor que la de una fuente relativamente estacionaria o de la que nuestro planeta se alejara.

Pero no se observó diferencia en la velocidad de la luz, independientemente del movimiento de la Tierra o la orientación del interferómetro. Lo que FitzGerald y Lorentz adujeron fue que el efecto no se observaba porque la distancia recorrida por la luz de una fuente en aproximación sería mayor, al haberse “alejado” la superficie de la Tierra de la fuente por contracción de su tamaño.

Las magnitudes involucradas eran realmente pequeñas, dada la enorme diferencia entre la velocidad de la luz y la velocidad de traslación de la Tierra, y Lorentz y FitzGerald ajustaron sus números para que cuadraran exactamente con lo observado. De este modo propusieron que el acortamiento vendría expresado por una proporción equivalente a la raíz cuadrada de 1—v²/c², donde v corresponde en este caso a la velocidad de traslación de la Tierra y c a la velocidad de la luz. Es obvio que la fracción v²/c² tiende a cero, puesto que el cuadrado de un número pequeño como v es muchísimo menor que el cuadrado de c. Si esto es así, el valor de la expresión 1—v²/c² tiende a 1 (igualmente, la raíz cuadrada de 1 es 1), para valores de v relativamente pequeños. Y multiplicar una suma algebraica de velocidades newtoniana por 1 la deja idéntica. Newton se había salvado.

En cambio, cuando el valor de v se aproxima al de c la cosa es distinta. Si se igualan ambas velocidades, la fracción v²/c² se iguala a 1, y entonces la expresión 1—v²/c² se iguala a 0, así como su raíz cuadrada. Esta condición expresa el achatamiento total, en la dirección de su movimiento, de un cuerpo que se moviese a la velocidad de la luz. Es claro que, en condiciones normales, ningún cuerpo conocido se desplaza a velocidades cercanas a las de la luz, razón por la que la contracción de Lorentz-FitzGerald pasaría inadvertida.

Lorentz produjo un conjunto de ecuaciones conocido como “transformaciones de Lorentz”[2], que implicaban fenómenos realmente extraños. Si las variaciones en la velocidad de la luz fuesen determinadas, no por interferómetro, sino por un reloj extraordinariamente preciso, entonces habría que concluir que los relojes que se mueven por el éter se retrasan exactamente por el mismo factor de la raíz cuadrada de 1—v²/c². Todo reloj, todo instrumento de medida, como una regla, quedaría sistemáticamente afectado por la traslación. (Idealmente, si debemos medir con una regla gigantesca el acortamiento del diámetro de la Tierra, la regla misma debe acompañarla en su traslación a su misma velocidad, y por tanto se achicaría exactamente en la misma proporción, lo que haría la contracción indetectable). De hecho, Lorentz proponía distinguir entre un movimiento “aparente” y uno “verdadero”, mientras sostenía que las “verdaderas” dimensiones y el tiempo “verdadero” no podrían determinarse jamás por procedimientos experimentales[3].

Tales pretensiones configuraban un estado de cosas nada satisfactorio, sobre todo para Albert Einstein, filosóficamente influido por el positivismo extremo de Ernst Mach[4], que exigía descartar cualquier aseveración que no estuviera sustentada en la observación directa. Einstein, que desde su adolescencia se preguntaba cómo aparecería el mundo ante un observador que cabalgara sobre un rayo de luz, cortó por lo sano, al preservar las transformaciones de Lorentz mientras echaba por la borda la noción del éter en uno de cuatro trabajos publicados en 1905 en Annalen der Physik. (Sobre la electrodinámica de los cuerpos en movimiento).

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El año de 1905 puede ser tenido, con toda propiedad, por el annus mirabilis de Alberto Einstein, y en verdad, de la ciencia física. Una sola cabeza había producido y publicado, en la revista mensual de la Sociedad Alemana de Física (Annalen der Physik), cuatro trabajos[5] de la mayor importancia teórica e impacto. Ya el primero, con el que proporcionaba una explicación del movimiento browniano (de partículas en suspensión en un medio líquido), habría bastado para destacarle como físico de importancia. Los otros tres fueron verdaderas revoluciones.

En “Sobre un punto de vista heurístico concerniente a la producción y transformación de la luz”, Einstein propuso que la luz (la radiación electromagnética en general) está compuesta por cuantos que le confieren ciertas propiedades de partículas, además de sus propiedades ondulatorias. Más adelante se acuñaría el nombre de “fotones” para designar a estos cuantos, y se les reconocería como una de las partículas fundamentales del universo. El trabajo ofrecía una explicación perfecta al fenómeno conocido como “efecto fotoeléctrico”—la generación de una corriente eléctrica cuando ciertos materiales reciben luz incidente—y proporcionó la base conceptual para tecnologías que tardarían cincuenta años en emerger: los masers y los lasers[6]. Cuando Einstein fuese honrado con el Premio Nóbel de Física, en 1921, fue por su ley del efecto fotoeléctrico y por su trabajo “en el campo de la Física teórica”. La Academia Sueca no se atrevió aún a mencionar sus teorías—especial y general—de la relatividad.

La teoría especial de la relatividad fue formulada en el tercero de los cuatro grandes trabajos: Zur Elektrodynamik bewegter Körper (Sobre la electrodinámica de los cuerpos en movimiento). Se la llama especial porque trata de cuerpos en movimiento que no experimentan aceleración. (La teoría general, publicada en la misma revista once años más tarde, trataría de cuerpos acelerados, y superaría en poder explicativo a la mismísima teoría de la gravitación de Isaac Newton).

En este tercer trabajo, de extraordinaria simplicidad y rareza—no contenía ni una sola referencia bibliográfica—Einstein regresó sobre el problema del éter y los resultados del experimento de Michelson-Morley. Tomando el toro por los cuernos, construyó un esquema revolucionario a partir de dos simples postulados: que la velocidad de la luz es una constante universal, y que las leyes de la Física son asimismo las mismas en cualquier parte del universo.

Einstein se percató de que la noción clave del problema era la idea de simultaneidad para las comparaciones entre diferentes observadores en movimiento y sus correspondientes marcos de referencia. (Sus sistemas de coordenadas, dentro de los que miden velocidades y tiempos). Eventos que parecerían sucederse simultáneamente para un observador en particular, serían percibidos como ocurriendo en momentos distintos por observadores en diferentes estados de movimiento respecto del primero. La simultaneidad era, por tanto, un concepto relativo; de ahí el nombre de la teoría.

Supóngase un observador que percibe como simultáneas las apariciones de dos estrellas nuevas en el firmamento. En este caso no puede estar seguro de su simultaneidad real, porque se requiere saber la distancia de ambas estrellas al observador. Es posible, incluso, que en “este momento” (momento local del observador), ya una de las estrellas ni siquiera exista, lo que no se puede saber porque a lo mejor se encuentra a una distancia tan grande que la luz, el fenómeno de mayor velocidad en el universo, tarde decenas o cientos de miles de años en recorrerla.

Los hallazgos de FitzGerald y Lorentz fueron reinterpretados a partir de esta nueva concepción: cuando quiera que dos observadores, asociados a sus respectivos marcos de referencia inerciales—no acelerados, que no modifican su velocidad—se encuentran en movimiento relativo el uno respecto del otro, las mediciones que hagan de intervalos temporales y distancias entre eventos diferirán sistemáticamente, sin que pueda afirmarse que el uno está en lo cierto y el otro equivocado. Tampoco puede decirse que uno de ellos está en reposo respecto del éter y el otro en movimiento. Si pudieran comparar sus relojes cada uno conseguiría que su propio reloj marchaba más rápido que el del otro, y si comparasen reglas de medir cada uno sostendría que la regla del otro se había acortado. Una sola cosa permanecería fija y constante: la velocidad de la luz en relación con cualquier marco de referencia y en cualquier dirección.

Esta interpretación relativista ponía en duda la existencia del éter de Maxwell, puesto que no puede verificarse el estado de su movimiento por ningún método o experimento concebible. La noción del éter como medio portador de la radiación electromagnética había sido borrada para siempre.

Varias consecuencias se derivaban de la teoría especial de la relatividad. Una de ellas puede entenderse a través de un experimento imaginario[7]. Imagínese una nave cohete que nunca agota su combustible. A medida que se aleja de la Tierra, viaja cada vez más rápidamente. Cuando esta velocidad se aproxima a la de la luz, predomina una dilación.

Desde el punto de vista de alguien que permanece en la Tierra, la rata a la que el cohete consume combustible comienza a disminuir. De hecho, cuando la velocidad del cohete es muy próxima a la de la luz, el motor parece apagarse. El efecto de la dilación del tiempo es justamente suficiente para asegurar que un astronauta nunca logre quemar esos últimos litros de combustible que requiere para lograr los últimos kilómetros por segundo que le separan de la velocidad de la luz. (Dicho de otro modo, tomaría un número infinito de años trabajando contra la dilación temporal para quemar el combustible necesario para alcanzar la velocidad de la luz). La velocidad de la luz es un límite máximo; según la teoría, no existe cuerpo material—o señal alguna transmitida—que pueda exceder la velocidad de la luz[8].

Continuando en analogías astronáuticas, puede imaginarse lo que ocurre en el caso de un viaje interestelar a muy altas velocidades. Considérese, por ejemplo, a dos jóvenes gemelos de 20 años de edad. Uno de los dos, Pepe, digamos, sube a una nave capaz de viajar a una velocidad equivalente al 98% de la de la luz, mientras su hermano gemelo, Juan, permanece en la Tierra. El gemelo astronauta viaja a una velocidad constante de 98% de la velocidad de la luz y regresa luego de recorrer una distancia total de 50 años luz. Para Juan, el reloj de Pepe se ha hecho más lento; según las transformaciones de Lorentz, un segundo en el reloj de Pepe equivale a cinco segundos del reloj de Juan. Dado que Pepe cubre la distancia de 50 años luz a una velocidad muy cercana a la de la luz, según los relojes terrestres el viaje ha tardado 51 años, de modo que Juan tiene 71 años de edad cuando recibe al gemelo viajero. Por otra parte, como los relojes de la nave se han retrasado, desde el punto de vista de Pepe sólo estuvo viajando 10 años y, en consecuencia, tiene la edad de 30 años al reencuentro de su anciano gemelo.

Esta descripción corresponde a la llamada “paradoja de los gemelos”. Puesta en otros términos más cercanos a la terminología relativista, puede ser reformulada así: Dado un marco de referencia inercial y dos sistemas materiales similares (“gemelos”)—por ejemplo, dos relojes atómicos de idéntico diseño—supóngase que uno de estos relojes permanece en reposo en el marco dado, mientras que el otro se mueve a alta velocidad, primero en una dirección que lo aleja del otro y después en la dirección contraria hasta que ambos relojes están juntos de nuevo. Si se aplica las transformaciones de Lorentz, el segundo reloj se ha retrasado respecto del primero, por lo que mostrará un lapso menor que el que señala el que permaneció en reposo. La lectura de los relojes permitiría decir cuál reloj estuvo en reposo y cuál se trasladó. Se habla acá de paradoja porque el razonamiento conduce a una aparente violación del principio de equivalencia, según el cual no hay diferencias entre distintos marcos de referencia: en todos se cumplen las leyes físicas de la misma manera.

El argumento es falaz, puesto que en realidad el marco de referencia del segundo reloj no es inercial. Recuérdese que la teoría especial de la relatividad se aplica a sistemas que no experimentan aceleración, y el cohete que llevó a Pepe por el espacio debió haber sufrido una aceleración en cuanto cambió de rumbo para regresar a la Tierra. Ergo, no se viola el principio de equivalencia y la paradoja desaparece. (Lo que no obsta para que cierta ciencia ficción no muy rigurosa continúe empleándola).

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Todavía publicaría Einstein en 1905 un trabajo adicional, este vez un desarrollo matemático ulterior, casi una nota al pie, de la teoría especial de la relatividad. Éste era su título: “¿Depende la inercia de un cuerpo de su contenido energético?” (Ist die Trägheit eines Körpers von seinem Energieinhalt abhängig?)

Como residuo de una serie matemática de la que se eliminaban todos sus términos menos uno, emergía la más famosa y sobrecogedora de las fórmulas en toda la historia de la Física:

E = m.c²

La masa de un cuerpo es una medida de su resistencia a un cambio en su estado de movimiento por causa de una fuerza que se le aplique. Mientras mayor sea la masa, menor será la aceleración resultante de la aplicación de la fuerza. Si un cuerpo se mueve a una velocidad cercana a la de la luz, ofrecerá una resistencia creciente a cualquier aceleración para no cruzar el umbral de c, la velocidad de la luz. La teoría especial de la relatividad conduce a la conclusión (matemática) de que la masa m de un cuerpo en movimiento está en función de la masa m₀ que tendría en reposo, según una fórmula en la que m es igual a m₀ dividida por la raíz cuadrada de 1 menos la fracción v²/c².

Este valor cambiante de la masa de un cuerpo en movimiento es llamado la masa relativística. A medida que v se aproxima a c, el valor de 1— v²/c² se aproxima a cero, y por tanto m = m₀ / 0, lo que sería un número infinitamente grande. (Una masa infinitamente grande que ofrecería una resistencia infinita).

La fórmula para la masa relativística puede ser reformulada para indicar que ésta excede su masa en reposo m₀ por una cantidad equivalente a su energía cinética E dividida por el cuadrado de la velocidad de la luz:

m— m₀ = E / c²

De aquí el corolario de que, en general, la energía es c² veces la masa, lo que se expresa como E = m. c², y que la energía y la masa son, de hecho, conceptos físicos equivalentes, que difieren tan sólo en términos de la escogencia de las unidades con las que se expresan[9].

La interconvertibilidad de masa y energía ha sido demostrada dramáticamente con la energía nuclear, especialmente desde acontecimientos como la destrucción de Hiroshima y Nagasaki como efecto de una única bomba atómica en agosto de 1945. Un gramo de materia o masa es en verdad la concentración de una asombrosa cantidad de energía. El procedimiento inverso al observado en una explosión nuclear es también pan de cada día en los laboratorios de física subatómica: la creación de partículas (masa) a partir del choque de haces de radiación electromagnética. De hecho, estas evidencias son comprobaciones experimentales entre muchas que se atienen a las predicciones extraíbles de la teoría especial de la relatividad, que hoy en día es de universal aceptación.

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Con posterioridad al año de 1905, Einstein y otros físicos continuaron refinando la teoría. Uno de los desarrollos más fructíferos fue aportado por el físico-matemático lituano Hermann Minkowski. En 1907, dos años antes de morir, Minkowski reformuló la teoría de la relatividad en términos de un concepto hermoso: el continuo espacio-tiempo. Esto es, trató al tiempo como una cuarta dimensión, adicional a las tres dimensiones convencionales del espacio. Este “espacio de Minkowski”, aunque parecía ser sólo una mejora terminológica, estimuló y facilitó la proposición posterior de una teoría general de la relatividad. Así como masa y energía eran las dos caras de una misma moneda, el tiempo y el espacio ya no tenían sentido como entidades independientes, sino como dimensiones inseparables de una sola entidad geométrica.

NOTA HISTÓRICA:

La noción misma de relatividad se remonta, al menos, hasta Galileo. En el Diálogo concerniente a los Dos Principales Sistemas del Mundo, su polémico—herético—libro de 1632, propuso el ejemplo de lo que ocurriría bajo cubierta de un barco grande que se moviera con cualquier velocidad. Estipulando que el movimiento fuera uniforme, concluyó que de ningún fenómeno que ocurriera bajo cubierta podría deducirse si el barco se encontraba en movimiento. Galileo quería con esta observación refutar a quienes se oponían a la noción del movimiento de la Tierra, que sostenían que si ella se moviera los objetos en su superficie se “quedarían atrás”.

En una carta de Descartes de 1644, se enfatiza la relatividad: “…de dos hombres, uno de los cuales se mueve con un barco y el otro está parado en la costa… no hay nada más positivo en el movimiento del primero que en el reposo del último”.

Newton, en los Principia, dedica sólo un corolario al asunto, en el que dice: “Los movimientos relativos de dos cuerpos en un espacio dado son idénticos sea que este espacio esté en reposo o se mueva uniformemente en línea recta con respecto a las estrellas fijas sin movimiento circular”.

Mach, en su Ciencia de la Mecánica, comentó que Newton afirmaba así el principio de relatividad, pero luego había abandonado lo fáctico para postular la existencia de un espacio absoluto.

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[1] En realidad, ambos postularon la contracción independientemente—primero FitzGerald y luego Lorentz cinco meses más tarde—en 1882, sobre los resultados de una primera versión del experimento llevada a cabo sólo por Michelson en Potsdam en 1881. La crítica de las condiciones experimentales, especialmente por Lorentz, llevó a la cooperación de Michelson con Morley para la versión más refinada y controlada de 1887 en Cleveland. Es decir, ya para 1882 existía la explicación ad hoc del resultado nulo.

[2] El mayor desarrollo matemático de Lorentz determinó que su nombre antecediera al de FitzGerald al bautizar la contracción, a pesar de que éste precediera al primero por cinco meses con la conjetura.

[3] Lewis Carroll, en Through the Looking Glass, había formulado un “inobservable” como ése en los siguientes versos: But I was thinking of a plan to dye one’s whiskers green, and always use so large a fan that they could not be seen.

[4] Cuyo nombre designa la unidad de velocidades relativas a la del sonido. Mach 1 es la velocidad del sonido, 340 metros por segundo; Mach 2 el doble de ésta, etcétera.

[5] En realidad fueron cinco artículos, aunque el primero—“Una nueva determinación de las dimensiones moleculares”—con el que obtuvo el grado de Doctor en Filosofía de la Universidad de Zürich, es usualmente pasado por alto ante la grandeza de los otros cuatro.

[6] La palabra maser es la sigla de Microwave Amplification by Stimulated Emission of Radiation. Laser corresponde a Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation.

[7] Gedanken experimenten. Albert Einstein era muy dado al tipo de análisis que se ayuda de experimentos imaginados.

[8] En sentido estricto, lo que la teoría de Einstein predica es que ningún cuerpo puede ser acelerado más allá de la velocidad de la luz. Si en las ecuaciones de Einstein se sustituyen cantidades reales por cantidades imaginarias—un número imaginario es un número real multiplicado por la raíz cuadrada de —1, o la cantidad i—entonces puede hablarse de velocidades superiores a la de la luz que nunca podrían ser desaceleradas por debajo de c. En ambos casos la velocidad de la luz actúa como límite. La operación de las ecuaciones de Einstein con valores imaginarios permite postular partículas hipotéticas que siempre se desplazarían más rápido que la luz. (Taquiones).

[9] En física nuclear la unidad de masa es el electrón-voltio, que es una unidad de energía.